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数学文化教程 [:1701013720]
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数学文化教程 第五节 三种基本数学结构
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20世纪30年代开始，法国的一批年轻数学家组成了笔名为“布尔巴基”的数学学派。他们仿照古希腊的《几何原本》，推出了取名为《数学原本》的系列著作，其核心思想是认为：整个数学是由在集合上不断叠加的各种结构而形成的。他们认为数学有三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构。纯粹数学学科大都可以按不同的结构来加以分类。让我们看几个例子。
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例1 实数系R的结构是完备的阿基米德全序域。具体地说：
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代数结构：可以实现加减乘除运算的“域”；
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序结构：全序；
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拓扑结构：表示x与y的距离。
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请回忆前述“拓扑学是橡皮几何学”的说法。所谓橡皮几何，是要“连续地拉扯变形下的不变性质”。那么何为“连续”？连续是连绵不断的意思。于是，两点间如果有距离，就可以用来表示不断裂，即每一点与附近各点的距离都不会太大。因为距离可以描述连绵不断，所以它是一种拓扑结构。连续的详细定义请参看第五章微积分部分。
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实数系还具有阿基米德性质，即对任何的正数x，y，总存在一个正整数n，使得n · x＞y。
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同时，实数关于距离是完备的，即任何实柯西列都必须收敛于某个实数。如，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…，收敛于
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实数域与全序是协调的，因此称作为全序域，即满足
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1）加法保序性：若a＜b，则对任何的c，有a+c＜b+c；
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2）乘正数保序性：若a＜b，则对任何的c＞0，有ac＜bc。
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这些性质就是实数的公理系统，标志着实数的结构。
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例2 复数系C是完备的偏序域。按照复数的加法和乘法，有
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(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
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(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
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于是复数C构成域。前面已经提到过，它的序结构是偏序。
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同样规定两复数Z1和Z2的距离为｜Z1-Z2｜。关于这个距离，复数系是
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例3 线性空间。一个集合，其上定义了加法运算以及逆运算，还有数乘运算，但是没有乘法运算，也就谈不上除法运算。具有加减运算和数乘运算的数学结构称为线性结构。例如由全体平面向量组成的集合构成线性空间。详细的叙述，请见第七章第一节线性空间部分。
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数学文化教程 第四章 数学欣赏：数学意境与人文意境的沟通
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数学欣赏，古已有之，中外皆然。数学美的论述多多，如和谐美、简约美、对称美等。黄金分割的艺术美更是大家耳熟能详。这一章将集中讨论一个新课题：数学人文意境的欣赏。语文教育和数学教育有明显的区别。语文教育重在欣赏，比如语文课教学生欣赏古文、欣赏唐诗，却基本上不会写古文、作古诗。但是，从小学到大学，数学教育的重点是“做题目”，几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。
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