1701015189
任何平面地图只用四种颜色就能使具有相同边界的国家染有不同的颜色。
1701015190
1701015191
这就是所谓的“四色猜想”。四色猜想是拓扑学中的著名问题。德·摩根关于地图上不会有五个国家彼此都相邻的论据并不能作为四色猜想的证明，这里的关键问题可以用图3.4.11来说明：虽然图中的任何四个国家都不会和其他三个国家相邻，但是仍需要四种颜色才能使相邻国家不同色。
1701015192
1701015193
这里说的相邻国家指的是有相同的边界，而不是只有相同的一个或几个点。所谓的国家，这里假设是一个连通的区域，即区域内任何两点可以用一条完全在区域内的曲线连接起来。如果有一个国家由几个连通的区域组成，这几个区域彼此不相连通，则可以用一些具体地图说明四色猜想不成立。
1701015194
1701015195
1701015196
1701015197
1701015198
▲ 图3.4.10
1701015199
1701015200
1701015201
1701015202
1701015203
▲ 图3.4.11
1701015204
1701015205
1890年达勒姆大学的数学家希伍德证明了：对任何平面地图，五种颜色总是足够的。但是，四种颜色是否同样够用仍在很长一段时间内未能证明。从19世纪中叶以来，许多著名的数学家（还有无数业余的数学家）在四色问题上倾注了大量的精力。在这个实用价值微小的问题上，数学家如此孜孜不倦地探究问题的答案，事实上它与数学发展过程的一些根本问题有关。
1701015206
1701015207
经过许多数学家的努力，把四色问题归结为近两千种情况下的证明。但是靠人工一个一个地完成判断和证明是不可能的。终于在1976年，三位美国科学家阿沛、哈肯和摩尔借助于当时先进的计算机，花了1 200小时，作了近100亿个逻辑判断，才最终证明了四色问题。
1701015208
1701015209
1701015210
1701015211
1701015212
数学文化教程 [:1701013720]
1701015213
数学文化教程 第五节 三种基本数学结构
1701015214
1701015215
20世纪30年代开始，法国的一批年轻数学家组成了笔名为“布尔巴基”的数学学派。他们仿照古希腊的《几何原本》，推出了取名为《数学原本》的系列著作，其核心思想是认为：整个数学是由在集合上不断叠加的各种结构而形成的。他们认为数学有三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构。纯粹数学学科大都可以按不同的结构来加以分类。让我们看几个例子。
1701015216
1701015217
例1 实数系R的结构是完备的阿基米德全序域。具体地说：
1701015218
1701015219
代数结构：可以实现加减乘除运算的“域”；
1701015220
1701015221
序结构：全序；
1701015222
1701015223
拓扑结构：表示x与y的距离。
1701015224
1701015225
请回忆前述“拓扑学是橡皮几何学”的说法。所谓橡皮几何，是要“连续地拉扯变形下的不变性质”。那么何为“连续”？连续是连绵不断的意思。于是，两点间如果有距离，就可以用来表示不断裂，即每一点与附近各点的距离都不会太大。因为距离可以描述连绵不断，所以它是一种拓扑结构。连续的详细定义请参看第五章微积分部分。
1701015226
1701015227
实数系还具有阿基米德性质，即对任何的正数x，y，总存在一个正整数n，使得n · x＞y。
1701015228
1701015229
1701015230
同时，实数关于距离是完备的，即任何实柯西列都必须收敛于某个实数。如，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…，收敛于
1701015231
1701015232
实数域与全序是协调的，因此称作为全序域，即满足
1701015233
1701015234
1）加法保序性：若a＜b，则对任何的c，有a+c＜b+c；
1701015235
1701015236
2）乘正数保序性：若a＜b，则对任何的c＞0，有ac＜bc。
1701015237
1701015238
这些性质就是实数的公理系统，标志着实数的结构。