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例2 复数系C是完备的偏序域。按照复数的加法和乘法,有
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(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
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(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
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于是复数C构成域。前面已经提到过,它的序结构是偏序。
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同样规定两复数Z1和Z2的距离为|Z1-Z2|。关于这个距离,复数系是
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例3 线性空间。一个集合,其上定义了加法运算以及逆运算,还有数乘运算,但是没有乘法运算,也就谈不上除法运算。具有加减运算和数乘运算的数学结构称为线性结构。例如由全体平面向量组成的集合构成线性空间。详细的叙述,请见第七章第一节线性空间部分。
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数学文化教程 第四章 数学欣赏:数学意境与人文意境的沟通
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数学欣赏,古已有之,中外皆然。数学美的论述多多,如和谐美、简约美、对称美等。黄金分割的艺术美更是大家耳熟能详。这一章将集中讨论一个新课题:数学人文意境的欣赏。语文教育和数学教育有明显的区别。语文教育重在欣赏,比如语文课教学生欣赏古文、欣赏唐诗,却基本上不会写古文、作古诗。但是,从小学到大学,数学教育的重点是“做题目”,几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节,使得许多人无法喜欢数学,以至厌恶数学,远离数学。
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过去也有一些文献涉及数学和诗词的关系,有许多可供谈助的材料。例如
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一去二三里,烟村四五家;
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楼台七八座,八九十支花。
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把十个数字嵌进诗里,读来朗朗上口。郑板桥也有咏雪诗:
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一片二片三四片,五片六片七八片;
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千片万片无数片,飞入梅花总不见。
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诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过,以上两诗中尽管嵌入了数字,有点趣味性,却实在和数学没有什么关系。
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那么如何欣赏数学呢?那就是欣赏数学的人文意境。
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数学文化教程 第一节 《道德经》与自然数公理
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数学是一种独特的理性文化:它的表达形式是“冰冷的美丽”,但是原始的过程是“火热的思考”。《道德经》的数字意境和近代的自然数公理十分接近。
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古人结绳计数,可以记录从大自然捕获的猎物的数量。西方称之为自然数(natural numbers)。德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker,1823—1891)有句名言:“上帝创造了自然数,其他的数都是人造的”。大自然就是上帝。
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什么是自然数?老子《道德经》说得明白:
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“太初有道”,“道生一,一生二,二生三,三生万物”。
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