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数学家曾经梦想用最原始的集合语言逐步地构建和描述全部数学，其第一步就是描写自然数。冯·诺依曼的自然数构造方式，把《道德经》里的那几句话严密地写出来了。
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数学文化教程 第二节 杜甫《登高》与数学无限
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数学与诗有密切的关联。著名作家王蒙说道：“最高的数学和最高的诗一样，都充满了想象，充满了智慧，充满了创造，充满了章法，充满了和谐，也充满了挑战。诗和数学又都充满灵感，充满激情，充满人类的精神力量。那些从诗中体验到数学的诗人是好诗人。那些从数学中体会到诗意的人是好数学家。”[1]
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数学是唯一正面进攻“无限”的科学。自然数一个接一个，没完没了。《道德经》说“三生万物”。万物，泛指无穷无尽。不过，无限有两种：一种是没完没了的“潜无限”；另一种是“将无限一览无余”的“实无限”。数学中的无限数列a1，a2，…，an，…就是潜无限。而说“全体自然数”，或者区间[0，1]中的全部实数，则属于“实无限”。“潜无限”和“实无限”之区别，曾是20世纪数学研究中的重大课题。但是我们发现，杜甫的《登高》诗句中已经描述了这种差异：
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风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。
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无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。
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让我们关注三、四两句。诗人登高远望，只见无边无际的林木落叶萧萧而下，滚滚而来的长江奔流不息。雄浑、寥廓而又肃杀、凋零的气象，使诗人感到太空浩茫，岁月悠久。
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从数学的眼光分析，第三句指的是“实无限”，“无边落木”就是指“无限多的所有落木”，这是一个实无限集合，已被我们一览无余。
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第四句则是所谓“潜无限”，它没完没了，不断地“滚滚”而来。尽管到现在为止，还是有限的，却永远不会停止。
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顺这个思路想下去，我们发现自然数的无限也有实无限和潜无限两种。请看一个有关客人住具有“无限床位”旅店的故事。
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世界上的旅店很多，总是有限的。每间旅店的客房数也是有限的。所以，旅店客房总数是有限的。每一家旅店的客房内的床位也是有限的。不过，随着时间的延伸，如果不断地有新的旅店盖起来，房间总数数目会不断增加。那么，从长远看，旅店客房的床位数无穷无尽。这是潜无限的说法，没有问题。
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轮到实无限情形，怪事就来了。大数学家希尔伯特说，我如果拥有一间旅店具有无限张床位（注意，是实实在在已经存在着的无限张床！）现在对每张床都编上号，不妨记为1，2，3，…，n，…，而且无限多个旅客（也是实无限）已经入住，每人有张床，每床有个人，就像一个萝卜一个坑，人与床有了一一对应的联系了。此时旅店门口挂牌“客满”。
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现在，如果突然又进来两位旅客要求住宿，还能安插吗？按照通常处理“有限张床位”的客满问题，自然是无法安排。但是对于具有无限张床位的旅店却另当别论了！
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希尔伯特说，我们可以按下列方案调整床位：将1、2号床位让给新来的旅客，请原来1、2床位旅客睡3、4床，…，请原来第n床位的旅客睡到第n+2床位。如此安排仍然是一人一床，不多不少。也许有人会觉得，有两个人无床可睡，请问他是谁？没有的，人人都有床，原来睡第n床的人现已安顿在n+2床了。
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这样的故事，在“潜无限”情形不会发生，因为旅馆床位在变动中的每一个时刻都是有限的，新客人这时来到，无法在客满情况下安排新客人。但是希尔伯特的旅店拥有实实在在的“无限”张床，所以才出现前面的一幕。
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总之，没完没了增加的床位和已经拥有“无限”张床位，是两种不同的无限。
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数学文化教程 第三节 中国古诗中的数学意境
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文理兼治，学生不会自发进行，需要教师的引导、点拨和熏陶。数学教学，要提高学生欣赏数学的能力。诗歌中有数学，数学中有诗歌。要把诗歌中的数学意境呈现出来，使学生产生共鸣，帮助学生感受、体验和欣赏数学冰冷形式后面的美丽。
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数学和诗词的内在联系，在于意境。本书会多次引用古诗来谈数学意境，这里先叙述几首。
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李白《送孟浩然之广陵》诗云：
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