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故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。
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孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。
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数学名家徐利治先生在讲极限的时候,总要引用“孤帆远影碧空尽”(图4.3.1)的一句,让大家体会一个变量趋向于0的动态意境,煞是传神。如果说,“一尺之棰,日取其半”是离散地描述极限过程,那么“碧空尽”则是一种动态的过程。
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贵州六盘水师专的杨光强老师讲述了一则经验。他在微积分教学中说到无界变量时,用了宋朝叶绍翁《游园不值》的诗句:
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满园春色关不住,一枝红杏出墙来。
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学生每每会意而笑。实际上,无界变量是说,无论你设置怎样大的正数M,变量总要超出你的范围,即至少有一个变量的绝对值会超过M。于是,M可以比喻成无论怎样大的园子,变量相当于红杏,结果是总有一枝红杏越出园子的范围(图4.3.2)。诗的比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了。
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有些科学论断,只确定某事物和某现象的存在,却不能指出存在的地方,拿出具体的样本,说出具体的原因。但是,他们仍然具有重要的科学价值。例如:
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● 根据地质学原理,确定某个大区域内存在石油,但还不能确定具体在何处;
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● 根据临床实验,知道几种药物服用后肯定有效,但不清楚哪一种最有效;
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▲ 图4.3.1 孤帆远影碧空尽
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▲ 图4.3.2 满园春色关不住
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● 通过野外调查,肯定某区域有野生熊猫存在,但是还不能肯定具体在哪里。
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数学上有很多纯粹存在性的定理,都十分重要。例如:
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抽屉原理 N只苹果放在M格抽屉里(N>M),那么至少有一个抽屉里多于一个苹果。
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这一原理肯定了这样抽屉的存在性,却不能判断究竟是哪一格抽屉里有多于一个的苹果。
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代数基本定理 任何n阶代数方程,在复数域内必定有n个根。
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这一著名的定理,只说一定有n个根,却没有说,怎样才能找到这n个根。
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连续函数的介值定理 在区间[a,b]上的连续函数,如果有f(a)>0,f(b)<0,则必定在区间内存在一点c,使得f(c)=0。
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同样,这个定理只保证函数f(x)在[a,b]有一个根c的存在性,却没有指出如何才能找到这个c。
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在人文意境上,存在性定理最美丽动人的描述,应属贾岛的诗句:
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松下问童子,言师采药去;
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只在此山中,云深不知处。
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