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世界上的旅店很多,总是有限的。每间旅店的客房数也是有限的。所以,旅店客房总数是有限的。每一家旅店的客房内的床位也是有限的。不过,随着时间的延伸,如果不断地有新的旅店盖起来,房间总数数目会不断增加。那么,从长远看,旅店客房的床位数无穷无尽。这是潜无限的说法,没有问题。
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轮到实无限情形,怪事就来了。大数学家希尔伯特说,我如果拥有一间旅店具有无限张床位(注意,是实实在在已经存在着的无限张床!)现在对每张床都编上号,不妨记为1,2,3,…,n,…,而且无限多个旅客(也是实无限)已经入住,每人有张床,每床有个人,就像一个萝卜一个坑,人与床有了一一对应的联系了。此时旅店门口挂牌“客满”。
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现在,如果突然又进来两位旅客要求住宿,还能安插吗?按照通常处理“有限张床位”的客满问题,自然是无法安排。但是对于具有无限张床位的旅店却另当别论了!
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希尔伯特说,我们可以按下列方案调整床位:将1、2号床位让给新来的旅客,请原来1、2床位旅客睡3、4床,…,请原来第n床位的旅客睡到第n+2床位。如此安排仍然是一人一床,不多不少。也许有人会觉得,有两个人无床可睡,请问他是谁?没有的,人人都有床,原来睡第n床的人现已安顿在n+2床了。
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这样的故事,在“潜无限”情形不会发生,因为旅馆床位在变动中的每一个时刻都是有限的,新客人这时来到,无法在客满情况下安排新客人。但是希尔伯特的旅店拥有实实在在的“无限”张床,所以才出现前面的一幕。
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总之,没完没了增加的床位和已经拥有“无限”张床位,是两种不同的无限。
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数学文化教程 第三节 中国古诗中的数学意境
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文理兼治,学生不会自发进行,需要教师的引导、点拨和熏陶。数学教学,要提高学生欣赏数学的能力。诗歌中有数学,数学中有诗歌。要把诗歌中的数学意境呈现出来,使学生产生共鸣,帮助学生感受、体验和欣赏数学冰冷形式后面的美丽。
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数学和诗词的内在联系,在于意境。本书会多次引用古诗来谈数学意境,这里先叙述几首。
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李白《送孟浩然之广陵》诗云:
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故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。
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孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。
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数学名家徐利治先生在讲极限的时候,总要引用“孤帆远影碧空尽”(图4.3.1)的一句,让大家体会一个变量趋向于0的动态意境,煞是传神。如果说,“一尺之棰,日取其半”是离散地描述极限过程,那么“碧空尽”则是一种动态的过程。
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贵州六盘水师专的杨光强老师讲述了一则经验。他在微积分教学中说到无界变量时,用了宋朝叶绍翁《游园不值》的诗句:
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满园春色关不住,一枝红杏出墙来。
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学生每每会意而笑。实际上,无界变量是说,无论你设置怎样大的正数M,变量总要超出你的范围,即至少有一个变量的绝对值会超过M。于是,M可以比喻成无论怎样大的园子,变量相当于红杏,结果是总有一枝红杏越出园子的范围(图4.3.2)。诗的比喻如此恰切,其意境把枯燥的数学语言形象化了。
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有些科学论断,只确定某事物和某现象的存在,却不能指出存在的地方,拿出具体的样本,说出具体的原因。但是,他们仍然具有重要的科学价值。例如:
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● 根据地质学原理,确定某个大区域内存在石油,但还不能确定具体在何处;
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● 根据临床实验,知道几种药物服用后肯定有效,但不清楚哪一种最有效;
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▲ 图4.3.1 孤帆远影碧空尽
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