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世界上的旅店很多，总是有限的。每间旅店的客房数也是有限的。所以，旅店客房总数是有限的。每一家旅店的客房内的床位也是有限的。不过，随着时间的延伸，如果不断地有新的旅店盖起来，房间总数数目会不断增加。那么，从长远看，旅店客房的床位数无穷无尽。这是潜无限的说法，没有问题。
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轮到实无限情形，怪事就来了。大数学家希尔伯特说，我如果拥有一间旅店具有无限张床位（注意，是实实在在已经存在着的无限张床！）现在对每张床都编上号，不妨记为1，2，3，…，n，…，而且无限多个旅客（也是实无限）已经入住，每人有张床，每床有个人，就像一个萝卜一个坑，人与床有了一一对应的联系了。此时旅店门口挂牌“客满”。
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现在，如果突然又进来两位旅客要求住宿，还能安插吗？按照通常处理“有限张床位”的客满问题，自然是无法安排。但是对于具有无限张床位的旅店却另当别论了！
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希尔伯特说，我们可以按下列方案调整床位：将1、2号床位让给新来的旅客，请原来1、2床位旅客睡3、4床，…，请原来第n床位的旅客睡到第n+2床位。如此安排仍然是一人一床，不多不少。也许有人会觉得，有两个人无床可睡，请问他是谁？没有的，人人都有床，原来睡第n床的人现已安顿在n+2床了。
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这样的故事，在“潜无限”情形不会发生，因为旅馆床位在变动中的每一个时刻都是有限的，新客人这时来到，无法在客满情况下安排新客人。但是希尔伯特的旅店拥有实实在在的“无限”张床，所以才出现前面的一幕。
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总之，没完没了增加的床位和已经拥有“无限”张床位，是两种不同的无限。
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数学文化教程 第三节 中国古诗中的数学意境
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文理兼治，学生不会自发进行，需要教师的引导、点拨和熏陶。数学教学，要提高学生欣赏数学的能力。诗歌中有数学，数学中有诗歌。要把诗歌中的数学意境呈现出来，使学生产生共鸣，帮助学生感受、体验和欣赏数学冰冷形式后面的美丽。
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数学和诗词的内在联系，在于意境。本书会多次引用古诗来谈数学意境，这里先叙述几首。
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李白《送孟浩然之广陵》诗云：
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故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。
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孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
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数学名家徐利治先生在讲极限的时候，总要引用“孤帆远影碧空尽”（图4.3.1）的一句，让大家体会一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神。如果说，“一尺之棰，日取其半”是离散地描述极限过程，那么“碧空尽”则是一种动态的过程。
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贵州六盘水师专的杨光强老师讲述了一则经验。他在微积分教学中说到无界变量时，用了宋朝叶绍翁《游园不值》的诗句：
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满园春色关不住，一枝红杏出墙来。
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学生每每会意而笑。实际上，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即至少有一个变量的绝对值会超过M。于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一枝红杏越出园子的范围（图4.3.2）。诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了。
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有些科学论断，只确定某事物和某现象的存在，却不能指出存在的地方，拿出具体的样本，说出具体的原因。但是，他们仍然具有重要的科学价值。例如：
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● 根据地质学原理，确定某个大区域内存在石油，但还不能确定具体在何处；
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● 根据临床实验，知道几种药物服用后肯定有效，但不清楚哪一种最有效；
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▲ 图4.3.1 孤帆远影碧空尽
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