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老药师肯定在此山里，但是究竟在什么地方，却并不知道：云深不知处。贾岛并非数学家，但是细细品味，觉得其诗的意境，简直是为数学而作。
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数学文化教程 第四节 欣赏数学的特定内涵：等价类
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“物以类聚，人以群分。”数学讲究分类，尤其是等价类。让我们从分数说起。
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分数，是小学学习的一道“坎”，令很多人感到困难。难在何处？难在通分。明明是同一个分数，老是化来化去，难以捉摸。那么，为什么要通分？原因在于一个分数实际上是一个大家庭。这里用到一个很深刻的思想：“等价类”。
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正本清源，我们必须从“数系扩张”这个源头说起。
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什么是分数？分数是，q≠0，p，q都是整数。自然数只有一种表示法。但是到了“分数”，就发生“多种表示”的问题了。如在3.2节中所述，一个分数，其表示形式却并不唯一。两个面貌不同分数却彼此相等，这是以前学习自然数时，从未碰到过的数学现象。
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这就是说，一个分数实际上属于一个群体，其中所有分数彼此相等。在有理数系里，每一个数都是一个无限多个相等的数组成的“类”：称为“等价类”。所谓两个分数相等，是指它们都属于同一个“等价类”，或者说，分数是以“等价类”的形式存在着的，不同的分数属于不同的“等价类”。
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依照通常的思考，既然相等，选一个代表就行了，要那么多等价的分数做什么？确实，作为分数的等价类，一个特殊的代表是有的，就是最简分数。但是，最简分数作为代表有时候并不方便，需要在等价类中找出适当分数表示才能参与运算。例如，两个分数都是最简分数，却不能用来相加。还得把以两个分母的最小公倍数为分母的那一个特殊表示找出来，即写成，才能彼此相加。这就是说，分数等价类中每一个表示，各有各的用处，都有特定的价值。分数的这个特点，既有学习难度，又有思想高度，是一个重要的数学思想方法。
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有了分数的相等性定义之后，借助通分，可以定义分数的四则运算，一切就从自然数进入到新的有理数系了。
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于是产生了一个联想：自然数向有理数的扩张，好像个体的原始人向家族过渡。一个个的家族，无非是具有血缘关系的一个关于人的等价类。
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恩格斯的《家庭、私有制和国家的起源》自1884年10月在苏黎世问世至今，已有一百多年了。马克思主义为了追溯国家产生的历史，就得先探讨私有财产的起源，进而阐述家庭的起源和发展。
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在人类历史初期，人们不知道财产私有为何物，一切生产资料和生活资料均归集体所有。个人财产最先只限于装饰品和衣服（兽皮）一类贴身之物，接着是归个人使用的工具和武器。但这仅仅是形式而已，他们并不懂得占有的意义。后来，随着生产力的发展，除了自己享用之外，渐渐有了多余的物品，并成为私有财产。私有财产促进了“家族”和“家庭”的产生。福建的圆形家族建筑（图4.4.1），生动地体现了家族在社会中的重要性。家族的进一步发展，也就出现了至高无上的一个皇朝家族。它可以统治和奴役其他家族，这就是国家的出现。家族、国家都是一个群体，按照一定的关系将人归为一个等价类。如果说，自然数相当于原始社会的个人，那么有理数系相当于一个血缘连接的家族。后来的实数（有理数组成的收敛数列）则是权力、利益相关的更复杂的“家族群”——国家。
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▲ 图4.4.1 福建龙岩的圆形家族建筑
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说白一点，我们不妨比喻：“每一个分数都是一个大家庭”。一个家庭有许多人格上平等的成员，可以有一个户主（最简分数）。但是，每个家庭成员各有各的作用，爸爸耕田，妈妈织布，爷爷养花，奶奶管家，小明读书。在通分的时候，最简分数和每一个扩分，都会派上用处。用这样的比方来认识作为等价类的“分数”，是否比较直白易懂呢？[2]
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实数，也是一个等价类。它由有理数组成的无限数列组成，它们收敛于同一个“数”。例如，可以表示为许多不同的有理数组成的无穷数列：
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{1.4，1.41，1.414，1.414 2，…}（的不足近似值组成）。同时，它也可以表示为
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{1.5，1.42，1.415，1.414 3，…}（的过剩近似值组成）。这就是说，收敛于同一个数的不同序列组成了一个等价类。
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让我们再进一步比喻。如果说，一个个的家族，还是鸡犬之声相闻，彼此都熟悉，那么许多家族组成的大家族群体（国家），彼此就不见得熟悉了。血缘家族之外，还有朋党、官场、职场等按照权力和利益划分的人群：彼此相关的“等价类”。
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