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于是产生了一个联想:自然数向有理数的扩张,好像个体的原始人向家族过渡。一个个的家族,无非是具有血缘关系的一个关于人的等价类。
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恩格斯的《家庭、私有制和国家的起源》自1884年10月在苏黎世问世至今,已有一百多年了。马克思主义为了追溯国家产生的历史,就得先探讨私有财产的起源,进而阐述家庭的起源和发展。
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在人类历史初期,人们不知道财产私有为何物,一切生产资料和生活资料均归集体所有。个人财产最先只限于装饰品和衣服(兽皮)一类贴身之物,接着是归个人使用的工具和武器。但这仅仅是形式而已,他们并不懂得占有的意义。后来,随着生产力的发展,除了自己享用之外,渐渐有了多余的物品,并成为私有财产。私有财产促进了“家族”和“家庭”的产生。福建的圆形家族建筑(图4.4.1),生动地体现了家族在社会中的重要性。家族的进一步发展,也就出现了至高无上的一个皇朝家族。它可以统治和奴役其他家族,这就是国家的出现。家族、国家都是一个群体,按照一定的关系将人归为一个等价类。如果说,自然数相当于原始社会的个人,那么有理数系相当于一个血缘连接的家族。后来的实数(有理数组成的收敛数列)则是权力、利益相关的更复杂的“家族群”——国家。
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▲ 图4.4.1 福建龙岩的圆形家族建筑
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说白一点,我们不妨比喻:“每一个分数都是一个大家庭”。一个家庭有许多人格上平等的成员,可以有一个户主(最简分数)。但是,每个家庭成员各有各的作用,爸爸耕田,妈妈织布,爷爷养花,奶奶管家,小明读书。在通分的时候,最简分数和每一个扩分,都会派上用处。用这样的比方来认识作为等价类的“分数”,是否比较直白易懂呢?[2]
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实数,也是一个等价类。它由有理数组成的无限数列组成,它们收敛于同一个“数”。例如,可以表示为许多不同的有理数组成的无穷数列:
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{1.4,1.41,1.414,1.414 2,…}(的不足近似值组成)。同时,它也可以表示为
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{1.5,1.42,1.415,1.414 3,…}(的过剩近似值组成)。这就是说,收敛于同一个数的不同序列组成了一个等价类。
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让我们再进一步比喻。如果说,一个个的家族,还是鸡犬之声相闻,彼此都熟悉,那么许多家族组成的大家族群体(国家),彼此就不见得熟悉了。血缘家族之外,还有朋党、官场、职场等按照权力和利益划分的人群:彼此相关的“等价类”。
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古语说:“修身齐家治国平天下”。自然数相当于一个个的人,有理数相当于一个个的家庭,实数则可以比喻为更多家族构成的家族群(国家)。
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上述的比喻尽管不能完全准确,有点瘸脚,却可以让人觉得数学的原始思想也很平常,呈现出一种使人容易理解的教育形态。
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等价类,是数学特有的内涵,它们可以找到人文的相似处,却又能成为严谨数学的表达形式。数学和人文意境的相互补充,构成了数学欣赏的又一道风景。
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数学文化教程 第五节 欣赏数学的美观——以对称与对仗为例
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和艺术欣赏一样,数学美也可以从感性地欣赏发展到理性地欣赏。期间有美观、美好、美妙、完美四个层次。完美层次,即前面说过的“数学冰冷的美丽”,那是理性之美。
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现在我们来说第一个层次:美观。
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几何图形的美观,黄金分割之美感,人人皆知,无需复述。值得一提的是对称变换下的不变量之美。
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数学中有对称,诗词中讲对仗。乍看上去两者似乎风马牛不相及,其实它们在理念上具有鲜明的共性:在变化中保持着不变性质。
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对称,是我们生活中常用的概念。我们的服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹。“门当户对”,是一种平衡的要求,成为某些人的婚姻和人际交往中常用的规则。文学中的对仗也是一种对称。“虎踞龙盘今胜昔,天翻地覆慨而慷”,既有人文意境之美,也有文字对仗工整之美。中国文化特有的对联,更把“对称”的要求提到非常高的程度。
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数学中说两个图形是轴对称的,是指将一个图形沿着某一条直线(称为对称轴)折叠过去,能够和另一个图形能够重合。这就是说,一个图形“变换”到对称轴另外一边,但是图形的形状没有变(图4.5.1)。
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这种“变中不变”的思想,在对仗中也反映出来了。毛泽东《长征》诗中的两句:
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