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于是产生了一个联想：自然数向有理数的扩张，好像个体的原始人向家族过渡。一个个的家族，无非是具有血缘关系的一个关于人的等价类。
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恩格斯的《家庭、私有制和国家的起源》自1884年10月在苏黎世问世至今，已有一百多年了。马克思主义为了追溯国家产生的历史，就得先探讨私有财产的起源，进而阐述家庭的起源和发展。
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在人类历史初期，人们不知道财产私有为何物，一切生产资料和生活资料均归集体所有。个人财产最先只限于装饰品和衣服（兽皮）一类贴身之物，接着是归个人使用的工具和武器。但这仅仅是形式而已，他们并不懂得占有的意义。后来，随着生产力的发展，除了自己享用之外，渐渐有了多余的物品，并成为私有财产。私有财产促进了“家族”和“家庭”的产生。福建的圆形家族建筑（图4.4.1），生动地体现了家族在社会中的重要性。家族的进一步发展，也就出现了至高无上的一个皇朝家族。它可以统治和奴役其他家族，这就是国家的出现。家族、国家都是一个群体，按照一定的关系将人归为一个等价类。如果说，自然数相当于原始社会的个人，那么有理数系相当于一个血缘连接的家族。后来的实数（有理数组成的收敛数列）则是权力、利益相关的更复杂的“家族群”——国家。
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▲ 图4.4.1 福建龙岩的圆形家族建筑
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说白一点，我们不妨比喻：“每一个分数都是一个大家庭”。一个家庭有许多人格上平等的成员，可以有一个户主（最简分数）。但是，每个家庭成员各有各的作用，爸爸耕田，妈妈织布，爷爷养花，奶奶管家，小明读书。在通分的时候，最简分数和每一个扩分，都会派上用处。用这样的比方来认识作为等价类的“分数”，是否比较直白易懂呢？[2]
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实数，也是一个等价类。它由有理数组成的无限数列组成，它们收敛于同一个“数”。例如，可以表示为许多不同的有理数组成的无穷数列：
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{1.4，1.41，1.414，1.414 2，…}（的不足近似值组成）。同时，它也可以表示为
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{1.5，1.42，1.415，1.414 3，…}（的过剩近似值组成）。这就是说，收敛于同一个数的不同序列组成了一个等价类。
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让我们再进一步比喻。如果说，一个个的家族，还是鸡犬之声相闻，彼此都熟悉，那么许多家族组成的大家族群体（国家），彼此就不见得熟悉了。血缘家族之外，还有朋党、官场、职场等按照权力和利益划分的人群：彼此相关的“等价类”。
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古语说：“修身齐家治国平天下”。自然数相当于一个个的人，有理数相当于一个个的家庭，实数则可以比喻为更多家族构成的家族群（国家）。
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上述的比喻尽管不能完全准确，有点瘸脚，却可以让人觉得数学的原始思想也很平常，呈现出一种使人容易理解的教育形态。
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等价类，是数学特有的内涵，它们可以找到人文的相似处，却又能成为严谨数学的表达形式。数学和人文意境的相互补充，构成了数学欣赏的又一道风景。
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数学文化教程 第五节 欣赏数学的美观——以对称与对仗为例
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和艺术欣赏一样，数学美也可以从感性地欣赏发展到理性地欣赏。期间有美观、美好、美妙、完美四个层次。完美层次，即前面说过的“数学冰冷的美丽”，那是理性之美。
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现在我们来说第一个层次：美观。
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几何图形的美观，黄金分割之美感，人人皆知，无需复述。值得一提的是对称变换下的不变量之美。
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数学中有对称，诗词中讲对仗。乍看上去两者似乎风马牛不相及，其实它们在理念上具有鲜明的共性：在变化中保持着不变性质。
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对称，是我们生活中常用的概念。我们的服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹。“门当户对”，是一种平衡的要求，成为某些人的婚姻和人际交往中常用的规则。文学中的对仗也是一种对称。“虎踞龙盘今胜昔，天翻地覆慨而慷”，既有人文意境之美，也有文字对仗工整之美。中国文化特有的对联，更把“对称”的要求提到非常高的程度。
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数学中说两个图形是轴对称的，是指将一个图形沿着某一条直线（称为对称轴）折叠过去，能够和另一个图形能够重合。这就是说，一个图形“变换”到对称轴另外一边，但是图形的形状没有变（图4.5.1）。
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这种“变中不变”的思想，在对仗中也反映出来了。毛泽东《长征》诗中的两句：
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