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美观未必美好，美好未必美观。数学上同样如此。有些数学公式，外观并不和谐，也不美观。但是一旦掌握了，感到它的正确、真实，美好的感觉就会油然而生。一个突出的例子是一元二次方程的求根公式。这一公式无论从哪一方面看，都不对称，不和谐，不美观。但是，当我们了解它，运用它，欣赏它，就会感到它的美好。它能告诉我们许多信息：“±”表示有两个根，a在分母上必须a≠0，根号里的判别式，会显示根的数目以及方程的性质。所以，当你和它熟悉了，就会觉得它虽然有点难看，却是十分美好的公式。把它比做《巴黎圣母院》中的卡西摩多，恐怕是很合适的。“情人眼里出西施”。许多数学公式和定理，用熟了，用惯了，得心应手，日久生情，体会到它对你好，你就会感到它的美好，而且美不胜收。
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数学美的第三个层次是美妙。
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数学中的许多结果，往往是“意料之外，却又情理之中”。比如，三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于一点。真是妙极了。我们在教学时，不妨先不告诉学生结果，让学生自己作图，自己发现这些一下子并看不出来的“真理”。发现真理，那是何等令人心仪的境界啊！再如，两个垂直相交的相同圆柱体的截线展开来，结果是一条正弦曲线。这真出乎“意料之外”，一经证明，却又在“情理之中”。一部电影、一本小说的艺术魅力，往往就是“意料之外”和“情理之中”的结合。
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每个学习数学的人，都感受过那样的时刻：一条辅助线使得无从着手的几何题豁然开朗；一个技巧令百思不得其解的不等式证明顺利通过；一幅图像使扑朔迷离的问题迎刃而解。这时的快乐与兴奋难以用语言来形容，只有借一个“妙”字来描绘。这种美妙的意境，会使人感到造化安排数学之巧妙、数学家创造数学之深邃、数学学习领悟之欢快。
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数学中有许多美妙的公式，这里举出两个给大家欣赏。
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陈省身说：“这个公式实在美极了！单数1，3，5，7，…这样的组合就可以给出π。对于数学家来说，此公式正如一幅美丽的图画或风景。”据说挪威中学生塞尔伯格（Atle Selberg，1917—2007）就是因看到这一奇妙的公式而对数学心驰神往，最后成为著名的数论大家。
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(2) eiπ+1=0.
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德国大数学家克莱因（Felix Klein，1849—1925）曾赞誉此公式“是整个数学中最卓越的公式之一。”菲尔兹奖章和沃尔夫奖得主芒福特称它是“一个真正的数学精品”。因为它把数学中五个最重要的数0，1，i，π，e和谐地联系起来了。还有，德国数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann，1852—1939）正是利用这一公式证明了π是超越数，从而彻底解决了困扰了数学家两千多年的古希腊“三大几何问题”中的——“化圆为方”问题。
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数学文化教程 [:1701013728]
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数学文化教程 第七节 从算术到代数的考察：过河取宝还是拴线拉宝？
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从算术到代数是一次数学思维的飞跃。那么它们的本质区别在哪里？
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“含有未知数的等式叫做方程”，“代数就是文字代表数”。这是两句耳熟能详的定义，可是很值得商榷。
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要说一个定义不妥当，最简单的方法是举反例。苏轼的一首《琴诗》就是这样做的：
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若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣？
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若言声在指头上，何不于君指上听？
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这首诗很久不被人重视，有人注意了，却是一片斥责声。清代才子、文学批评家纪晓岚说：“此随手写四句，本不是诗，搜辑者强收入集。”他甚至以质问的口气说：“千古诗集，有此体否？”在纪晓岚看来，没有这种体就不是诗。其实正是因为“无此体”，才体现出苏轼的创新精神。
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回到“含有未知数的等式叫做方程”的定义。已故西南师范大学代数学家陈重穆教授，晚年注重数学教育研究。他问：x=1，x-x=0，0 · x=0，a+b=b+a，都是含未知数的等式，它们是不是方程？照上述的“定义”应该是方程，但是我们却不研究。这段话，和苏轼的《琴诗》一样，都是举反例以说明原说的不确切。陈教授还说，这样的定义不要当真，忘记了也没有关系，属于淡化范围。
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实际上，方程的本质是为了求未知数而在未知数和已知数之间建立起来的一种等式关系。也就是说，学习方程，目的是“求”未知数，方法是“拉关系”，具体策略是通过等式变换进行“还原和对消”。
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公元820年，阿拉伯数学家花拉子米（图4.7.1）写了一本《代数学》。它的阿拉伯文书名是ilm al-jabr wa l-muqabalah。西文中的algebra，即由al-jabr脱胎而来。Al-jabr的阿拉伯原文意思是“还原”，muqabalah原意是对消。因此，“代数学”的本意是“还原与对消的科学”，也就是要把淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x的本来面目。这样讲，就把“方程”说活了。这好比要想结识“朋友”，往往要借助中介关系，如此而已。
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能够把一个形式化的数学概念说明白了，就是一种数学欣赏。
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