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（5）数列的极限不必一定是每项都比前一项靠近极限，但是最后的总趋势是靠近极限。例如数列
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1,1/3,1/2,1/5,1/4,…,1/n,1/(n-1),…
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的极限也是0，但是各项离极限0的距离有反复，第2项1/3离0近，第3项1/2反而离0远些，不过它的总体趋势还是靠近0。
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（6）常数列也是有极限的。同数列可以有相同极限。例如，成常数列1，1，1，…，1，…的极限就是1。所有有限小数都可以看成是常数数列。
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（7）不同的数列可以有相同的极限，例如0是许多数列的极限。如前所说：
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0,0,0,…,0,…
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1,1/2,1/22,1/23,…,1/2n…,
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-1,1/2,-1/3,1/4,-1/5,1/6,…,-1/n,1/(n+1),…
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它们的极限都是0。
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（8）实数可用收敛数列的极限来定义。如果是有限小数，可以表示为常数列。如0.5，0.5，0.5，…，0.5，…，它的极限就是0.5。如果是无限循环小数，就看作由前n位小数所组成的有限小数数列的极限。例如0.99999…可以看作0.9，0.99，0.999，…这一数列的极限，其极限是1。如果是无限不循环小数，如，也是某个数列的极限。总之，实数是可以用有理数列的极限来定义的。
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数学文化教程 第二节 用“有限”符号装点的“极限”女神——数列极限严格定义的欣赏
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前面我们运用极限的直觉，借助特殊的数列极限示例，对极限作了大致的描述。这一节我们将运用现代的数学符号，给出数列极限的严格定义。一旦拨开神秘的“无限”面纱，我们看到的是一座精美的“极限”雕像。
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19世纪中叶以后，人们探索微积分的严密化。法国数学家柯西是一个关键人物。演变至今，数列极限的严格定义可以叙述如下：
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定义 设{Xn}是实数数列，若存在某一个实数X，使得对任意给定的正数ε＞0，总有自然数N，当n＞N时，|Xn-X|＜ε，则称X为数列{Xn}的极限，记为：Xn→X或X=。例如，数列{1+1/n}的极限是1。我们用上述定义验证如下。
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任给正数ε（比如万分之一），为了使
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|(1+1/n)-1|=|1/n|＜ε=1/10 000,
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只要把项数N取为10 000，那么当n＞10 000时，上述不等式就都能成立了。
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极限是一个无限的变化过程。本来只能“意会”，难以言传。现在，我们看到的这个极限定义，根本没有无限、过程、变化、趋势之类的字眼。这段数学家曾经探讨几百年的极限定义，可以像齐白石的画、罗丹的雕塑、贝多芬的音乐一样，通过不同的角度，细细地加以欣赏。即使我们自己不能充分掌握它、运用它，至少也能欣赏它。我们可以从以下三个角度进行欣赏。
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欣赏角度1 从字面上看，这是“若要靠近极限到某程度ε，只需项数靠后到某程度N”那样的语句。俗语“若要铁杵磨成针，只要功夫深”，也是这样的意境。这种说法，把要达成的逼近度ε，归结为寻求靠后程度N的活动，而且N的寻求是可以根据给出ε进行操作的，这就消除了“无限过程”的神秘感。
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欣赏角度2 这是一个“算术化“的定义。极限本来是变动的无限过程，但是，在这一定义中只有加减乘除、绝对值、大于小于这样的“算术”运算。什么“无限过程”、“不断变化”、“越来越接近”之类的模糊语言全都不见了，似乎把动态的极限过程静态化和有限化了。有限的词语揭开了“无限”的面纱，这是人类智慧的结晶！
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欣赏角度3 这一定义，不是具体地看数列的变化过程，而是从整体上加以把握。无论是“日取其半”，还是“割之又割”，抑或“无限逼近”，都被此定义统一概括：变量趋向于一个极限，一步步地越走越近当然可以，进两步、退一步也还是接近。正如黄河九曲十八弯，最后还是注入大海，寻到最后的“归宿”。
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《庄子·天下篇》说“人生有涯矣，知无涯矣，以有涯随无涯，殆矣”。人的一生虽然不能穷尽所有知识，但是人的能动思维却能跨越无限，用可以操作的有限来表达无限。极限的这一表达，奠定了微积分的坚实基础。