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极限的性质 设数列{Xn}有极限X，那么
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（1）（齐次性）若Xn→X，c为实数，则数列{cXn}有极限cX。即收敛数列的c倍数列，其极限是原有极限的c倍。
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（2）（可加性）Xn→X且Yn→Y，则Xn+Yn→X+Y。即两个收敛数列之和，其极限为原有两数列极限之和。
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将（1）与（2）结合，可得：
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Xn→X且Yn→Y，c，d为实数，则cXn+dYn→cX+dY。
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（3）（可乘性）若Xn→X且Yn→Y，则Xn · Yn→X · Y。
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（4）（可除性）Xn→X且Yn→Y≠0，则Xn/Yn→X/Y。
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（5）若Xn→X，则Xn的子列Xnk→X。意思是有极限的数列其任何子数列有极限且相等。
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（6）（非负性）Xn→X且Xn≥0，则X≥0。即非负数列的极限也是非负的。
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以上的性质，我们用严格的定义都能加以证明。这里只证明可加性。
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证明 由Xn→X且Yn→Y，则对任意给定的正数ε＞0，取其一半为，总有自然数N1，当n＞N1时，|Xn-X|＜；此外，对同样的正数ε＞0，又有自然数N2，当n＞N2时，|Yn-Y|＜；这样，令N=max（N1，N2），则当n＞N时，
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因此Xn+Yn→X+Y。
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数学文化教程 第三节 抽刀断水水更流的数学描述——函数的极限和连续
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微积分是用极限方法研究函数性质的学科。无穷数列是特殊的函数，其定义域是自然数集。一般地，这一节我们来研究定义在区间[a，b]上函数的极限特性。看看一个严谨的数学家如何表达连绵不断的“连续性”。
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1.连续和间断
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我们先来看三幅函数的图像。图5.3.1是指数函数的图像，这是一条连绵不断的曲线。图5.3.2则是由两段函数（y=x-1（x＜1），y=x+1（x＞1））和f（0）=0拼凑起来的图像，它在x=0处间断。图5.3.3的函数图像，在x=0处，函数值突出地跳到上面，等于2。
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这样说连续和间断很直观，也没有什么问题。可是，何谓连续？何谓间断？能够从数量上加以严格描述吗？我们用极限思想来表达。
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连绵不断的曲线，可以想象为“江河的流水”。抽刀断水水更流，上游的水流到这里，又从此处出发流向下游。上下游的水，一点一点地接续着。
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为了进一步理解函数的连续性，不妨仔细看看不连续的情形。我们看图5.3.2，在O点分为左右两支。左边的一支，当x→0时（由负数接近0），函数趋向于-1，而右边的一支，当x→0（由正数减少到0），函数趋向于1。而在0点，函数值是0。这就是说，函数f（x）当x→0时，函数值没有同一的趋势，它们没有唯一的极限值，两支图像的趋势不同，尤其是不能恰好等于O点的函数值f（0）=0。
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