1701015938
1701015939
以上的性质，我们用严格的定义都能加以证明。这里只证明可加性。
1701015940
1701015941
1701015942
1701015943
1701015944
证明 由Xn→X且Yn→Y，则对任意给定的正数ε＞0，取其一半为，总有自然数N1，当n＞N1时，|Xn-X|＜；此外，对同样的正数ε＞0，又有自然数N2，当n＞N2时，|Yn-Y|＜；这样，令N=max（N1，N2），则当n＞N时，
1701015945
1701015946
1701015947
1701015948
1701015949
因此Xn+Yn→X+Y。
1701015950
1701015951
1701015952
1701015953
1701015954
数学文化教程 [:1701013735]
1701015955
数学文化教程 第三节 抽刀断水水更流的数学描述——函数的极限和连续
1701015956
1701015957
微积分是用极限方法研究函数性质的学科。无穷数列是特殊的函数，其定义域是自然数集。一般地，这一节我们来研究定义在区间[a，b]上函数的极限特性。看看一个严谨的数学家如何表达连绵不断的“连续性”。
1701015958
1701015959
1.连续和间断
1701015960
1701015961
我们先来看三幅函数的图像。图5.3.1是指数函数的图像，这是一条连绵不断的曲线。图5.3.2则是由两段函数（y=x-1（x＜1），y=x+1（x＞1））和f（0）=0拼凑起来的图像，它在x=0处间断。图5.3.3的函数图像，在x=0处，函数值突出地跳到上面，等于2。
1701015962
1701015963
这样说连续和间断很直观，也没有什么问题。可是，何谓连续？何谓间断？能够从数量上加以严格描述吗？我们用极限思想来表达。
1701015964
1701015965
连绵不断的曲线，可以想象为“江河的流水”。抽刀断水水更流，上游的水流到这里，又从此处出发流向下游。上下游的水，一点一点地接续着。
1701015966
1701015967
为了进一步理解函数的连续性，不妨仔细看看不连续的情形。我们看图5.3.2，在O点分为左右两支。左边的一支，当x→0时（由负数接近0），函数趋向于-1，而右边的一支，当x→0（由正数减少到0），函数趋向于1。而在0点，函数值是0。这就是说，函数f（x）当x→0时，函数值没有同一的趋势，它们没有唯一的极限值，两支图像的趋势不同，尤其是不能恰好等于O点的函数值f（0）=0。
1701015968
1701015969
1701015970
1701015971
1701015972
▲ 图5.3.1 指数函数
1701015973
1701015974
1701015975
1701015976
1701015977
▲ 图5.3.2 断裂的两条半直线
1701015978
1701015979
1701015980
1701015981
1701015982
▲ 图5.3.3 在x=0处 函数值“飞”出y=1的直线形成断裂
1701015983
1701015984
图5.3.3表明O点两边的极限都存在（等于0），但和这点的函数值f（0）=2不同，所以也发生断裂。一般地说，凡是在一点处，函数值在自变量趋向该点时没有同一的极限值，或者即使有极限值却不等于该点的函数值，那就是不连续了。
1701015985
1701015986
现在我们可以正面描述函数的连续性了：函数f（x）在一点a连续，就是指：当x→a时，f（x）的极限恰好是f（a）。
1701015987