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以上的性质,我们用严格的定义都能加以证明。这里只证明可加性。
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证明 由Xn→X且Yn→Y,则对任意给定的正数ε>0,取其一半为,总有自然数N1,当n>N1时,|Xn-X|<;此外,对同样的正数ε>0,又有自然数N2,当n>N2时,|Yn-Y|<;这样,令N=max(N1,N2),则当n>N时,
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因此Xn+Yn→X+Y。
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数学文化教程 第三节 抽刀断水水更流的数学描述——函数的极限和连续
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微积分是用极限方法研究函数性质的学科。无穷数列是特殊的函数,其定义域是自然数集。一般地,这一节我们来研究定义在区间[a,b]上函数的极限特性。看看一个严谨的数学家如何表达连绵不断的“连续性”。
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1.连续和间断
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我们先来看三幅函数的图像。图5.3.1是指数函数的图像,这是一条连绵不断的曲线。图5.3.2则是由两段函数(y=x-1(x<1),y=x+1(x>1))和f(0)=0拼凑起来的图像,它在x=0处间断。图5.3.3的函数图像,在x=0处,函数值突出地跳到上面,等于2。
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这样说连续和间断很直观,也没有什么问题。可是,何谓连续?何谓间断?能够从数量上加以严格描述吗?我们用极限思想来表达。
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连绵不断的曲线,可以想象为“江河的流水”。抽刀断水水更流,上游的水流到这里,又从此处出发流向下游。上下游的水,一点一点地接续着。
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为了进一步理解函数的连续性,不妨仔细看看不连续的情形。我们看图5.3.2,在O点分为左右两支。左边的一支,当x→0时(由负数接近0),函数趋向于-1,而右边的一支,当x→0(由正数减少到0),函数趋向于1。而在0点,函数值是0。这就是说,函数f(x)当x→0时,函数值没有同一的趋势,它们没有唯一的极限值,两支图像的趋势不同,尤其是不能恰好等于O点的函数值f(0)=0。
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▲ 图5.3.1 指数函数
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▲ 图5.3.2 断裂的两条半直线
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▲ 图5.3.3 在x=0处 函数值“飞”出y=1的直线形成断裂
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图5.3.3表明O点两边的极限都存在(等于0),但和这点的函数值f(0)=2不同,所以也发生断裂。一般地说,凡是在一点处,函数值在自变量趋向该点时没有同一的极限值,或者即使有极限值却不等于该点的函数值,那就是不连续了。
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现在我们可以正面描述函数的连续性了:函数f(x)在一点a连续,就是指:当x→a时,f(x)的极限恰好是f(a)。
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