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函数连续性的定义 f（x）在点a及其附近有定义，若在x=a处，当x→a时，f（x）趋向于一个极限值且该值正好是f（a），则称f（x）在点a连续。
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2.函数极限的ε-δ定义
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模仿数列极限的ε-N定义，我们给出函数极限以及函数连续性的ε-δ定义。
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什么是函数f（x）无限接近某一常数A呢？如数列极限那样，f（x）可以任意接近A，想达到什么精度都能做到。只要自变量x充分配合，函数值f（x）就能与常数A相差一个任意小的数。
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函数极限的ε-δ定义 若存在某一个实数A，使得对任意给定的正数ε＞0，总有实数δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，必有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）在x0点有极限，且极限为A。记为x→x0时，f（x）→A或
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函数极限有一系列与前述数列极限相似的性质，这里不再叙述。
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特别要提到的一点是：在这一定义中，f（x）在x0点处的极限A不一定正好等于f（x0）。f（x）在x=x0处可能取任意的值，甚至可能没有定义。如果f（x）在x=x0处有定义且正好等于A，这时就称f（x）在x=x0处连续。将这一段话用ε-δ语言来表述，就是
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函数连续的ε-δ定义 如对任意给定的正数ε＞0，总有实数δ＞0，当|x-x0|＜δ时，必有|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在x0点连续，记为
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3.数学的存在性定理
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前面提到过，贾岛《寻隐者不遇》诗云：
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松下问童子，言师采药去。
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只在此山中，云深不知处。
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这是只知其存在，但不知道确切位置的一种意境。在微积分学中，连续函数有两个重要的存在性定理。
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最值定理 在闭区间[a，b]上连续的函数必定在该区间上取到最大值和最小值。（至于在哪里取得，定理并没有给出。参见图5.3.4。）
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介值定理 在区间[a，b]上定义的连续函数，如果在[a，b]中存在两点p，q使得f（p）＜0且f（q）＞0，那么必定在p，q之间存在点c，使得f（c）=0。（至于c在哪里，定理并未回答。参见图5.3.5。）
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▲ 图5.3.4 函数的最大值点
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f（x）在[a，b]上连续，在点ξ处达到最大值。ξ具体在何处，尚无法断定。
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▲ 图5.3.5 函数的介值性
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这一函数在[-2，2]上连续，在-1处函数值小于0，在1处函数值大于0，所以可以判断必有一点函数值等于0，即函数图像和横坐标轴相交。至于具体是哪一点，目前还不能确定。
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