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▲ 图5.3.1 指数函数
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▲ 图5.3.2 断裂的两条半直线
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▲ 图5.3.3 在x=0处 函数值“飞”出y=1的直线形成断裂
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图5.3.3表明O点两边的极限都存在（等于0），但和这点的函数值f（0）=2不同，所以也发生断裂。一般地说，凡是在一点处，函数值在自变量趋向该点时没有同一的极限值，或者即使有极限值却不等于该点的函数值，那就是不连续了。
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现在我们可以正面描述函数的连续性了：函数f（x）在一点a连续，就是指：当x→a时，f（x）的极限恰好是f（a）。
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函数连续性的定义 f（x）在点a及其附近有定义，若在x=a处，当x→a时，f（x）趋向于一个极限值且该值正好是f（a），则称f（x）在点a连续。
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2.函数极限的ε-δ定义
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模仿数列极限的ε-N定义，我们给出函数极限以及函数连续性的ε-δ定义。
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什么是函数f（x）无限接近某一常数A呢？如数列极限那样，f（x）可以任意接近A，想达到什么精度都能做到。只要自变量x充分配合，函数值f（x）就能与常数A相差一个任意小的数。
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函数极限的ε-δ定义 若存在某一个实数A，使得对任意给定的正数ε＞0，总有实数δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，必有|f（x）-A|＜ε，则称函数f（x）在x0点有极限，且极限为A。记为x→x0时，f（x）→A或
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函数极限有一系列与前述数列极限相似的性质，这里不再叙述。
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特别要提到的一点是：在这一定义中，f（x）在x0点处的极限A不一定正好等于f（x0）。f（x）在x=x0处可能取任意的值，甚至可能没有定义。如果f（x）在x=x0处有定义且正好等于A，这时就称f（x）在x=x0处连续。将这一段话用ε-δ语言来表述，就是
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函数连续的ε-δ定义 如对任意给定的正数ε＞0，总有实数δ＞0，当|x-x0|＜δ时，必有|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）在x0点连续，记为
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3.数学的存在性定理
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前面提到过，贾岛《寻隐者不遇》诗云：
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松下问童子，言师采药去。
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只在此山中，云深不知处。
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这是只知其存在，但不知道确切位置的一种意境。在微积分学中，连续函数有两个重要的存在性定理。
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