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1701015972 ▲ 图5.3.1 指数函数
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1701015977 ▲ 图5.3.2 断裂的两条半直线
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1701015982 ▲ 图5.3.3 在x=0处 函数值“飞”出y=1的直线形成断裂
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1701015984 图5.3.3表明O点两边的极限都存在(等于0),但和这点的函数值f(0)=2不同,所以也发生断裂。一般地说,凡是在一点处,函数值在自变量趋向该点时没有同一的极限值,或者即使有极限值却不等于该点的函数值,那就是不连续了。
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1701015986 现在我们可以正面描述函数的连续性了:函数f(x)在一点a连续,就是指:当x→a时,f(x)的极限恰好是f(a)。
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1701015988 函数连续性的定义 f(x)在点a及其附近有定义,若在x=a处,当x→a时,f(x)趋向于一个极限值且该值正好是f(a),则称f(x)在点a连续。
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1701015990 2.函数极限的ε-δ定义
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1701015992 模仿数列极限的ε-N定义,我们给出函数极限以及函数连续性的ε-δ定义。
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1701015994 什么是函数f(x)无限接近某一常数A呢?如数列极限那样,f(x)可以任意接近A,想达到什么精度都能做到。只要自变量x充分配合,函数值f(x)就能与常数A相差一个任意小的数。
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1701015996 函数极限的ε-δ定义 若存在某一个实数A,使得对任意给定的正数ε>0,总有实数δ>0,当0<|x-x0|<δ时,必有|f(x)-A|<ε,则称函数f(x)在x0点有极限,且极限为A。记为x→x0时,f(x)→A或
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1701016001 函数极限有一系列与前述数列极限相似的性质,这里不再叙述。
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1701016003 特别要提到的一点是:在这一定义中,f(x)在x0点处的极限A不一定正好等于f(x0)。f(x)在x=x0处可能取任意的值,甚至可能没有定义。如果f(x)在x=x0处有定义且正好等于A,这时就称f(x)在x=x0处连续。将这一段话用ε-δ语言来表述,就是
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1701016005 函数连续的ε-δ定义 如对任意给定的正数ε>0,总有实数δ>0,当|x-x0|<δ时,必有|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)在x0点连续,记为
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1701016010 3.数学的存在性定理
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1701016012 前面提到过,贾岛《寻隐者不遇》诗云:
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1701016014 松下问童子,言师采药去。
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1701016016 只在此山中,云深不知处。
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1701016018 这是只知其存在,但不知道确切位置的一种意境。在微积分学中,连续函数有两个重要的存在性定理。
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