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▲ 图5.4.1 求定周长矩形最大面积的示意图 5.4.1
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再看牛顿早先怎样求y=xn的微商。牛顿在《求积术》一文中有如下的论述：
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设量x均匀地变动一个无穷小量h，在x变成x+h的同时，xn变成（x+h）n，它等于
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注意到
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将此式两端除以增量h，得比式（称为差商）
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现在令增量h消失，差商的最终比值是xn的微商nxn-1.
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牛顿用上面的论证得出y=xn的微商（现称为导数）是nxn-1，结论正确，但是论证显然不够严格.开始时增量h不是0，于是在求值时可以约去h，可是后来又令增量h消失，h又等于0了。这在逻辑上是说不通的。
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2.贝克莱主教的批评
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和费马同时代的数学家，都普遍地使用无穷小量分析。在牛顿正式创立微积分的许多论述中，也大量使用这种无穷小量方法。
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由于论证不够严格，后人不断地批评这种演算。最严厉的批判来自英国的贝克莱大主教。1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，他嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。马克思在他的《数学手稿》中也说，把无穷小量像0一样略去，是“暴力镇压”。
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这种把无穷小量“招之即来，挥之即去”的做法，尽管不符合逻辑，但是得到的许多结论却是正确的。一句名言是“不管白猫黑猫，能够捉住老鼠的就是好猫”。在17世纪，数学家还顾不得脚下的基础，而是大踏步前进，“掠取”战利品，收获大量的科学成果，名副其实地创造了“科学黄金时代”。
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3.今天怎样看待“无穷小量”？
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无穷小量引起的矛盾，在于把它看成一个静止的量。在今天看来，无穷小量是一个变化过程，它的归宿是0，即是一个极限为0的变量。作为变量，在变化过程中并不为0，只是和0无限接近。正如“一尺之棰，日取其半”，乃是一个过程，它在变化过程中，一直不是0，只是最终的极限是0。这样，就把“是0又不是0”的逻辑矛盾规避了。
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让我们回头看费马的论证。在式（5.4.1）中，如果E不是0，等式就不能成立。但是，如果假设E（t）是无穷小量，当t→0时，E（t）→0。在式（5.4.1）的两边取极限，则等式就可以成立了。即
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理由如下：首先，由于A，B都是常数，所以=B（A-B）。而由极限的四则运算性质，得
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=(B+0)┌└A-(B+0)┐┘
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=B(A-B).