1701016120
1701016121
所以左端=右端。
1701016122
1701016123
再往下看。由于E（t）是一个过程，变化过程中不为0，所以从式
1701016124
1701016125
1701016126
（5.4.2）出发，可得0=┌└（A-2B）E（t）-E（t）2┐┘。因为E（t）在变化过程中不为0，所以等式两边可以除以E （t）。于是有
1701016127
1701016128
1701016129
1701016130
1701016131
即A=2B。这就获得了所需要的结果。
1701016132
1701016133
同样用极限方法，也可以严格论证函数y=xn的微商是nxn-1。
1701016134
1701016135
1701016136
1701016137
1701016138
数学文化教程 [:1701013737]
1701016139
数学文化教程 第五节 微分之比，“局部”为本
1701016140
1701016141
中学里的函数概念告诉我们，当自变量x变化时，因变量函数f（x）也随着变化。如果问，x变化之后，函数值变化得快不快？如何计算？这就是微分学的任务。
1701016142
1701016143
所谓函数y=f（x）在一点a的导数f′（a），乃是两个无穷小量之比的极限。用数学符号写为，
1701016144
1701016145
1701016146
1701016147
1701016148
其中x是点a附近任意取的一点，自变量的变化是Δx=x-a，由此变化所引起的函数值的变化是Δy=f （x）-f （a），比值
1701016149
1701016150
1701016151
1701016152
1701016153
是函数f（x）当x变化时，所引起函数值的相对变化率。当Δx→0时，也有Δy→0。这两个无穷小量之比的极限，表示f（x）在一点a处的局部变化率。局部变化率大，表示变化剧烈；局部变化率小，表示变化缓慢。局部变化率为0，就是稳定不变。
1701016154
1701016155
我们将围绕“微分”和“导数”的概念，开始“寻美”之旅。
1701016156
1701016157
切线，是人类的直觉可以触及的。比如，说“旋转雨伞时，雨滴沿着雨伞的切线方向飞去”，“铅球沿着人体运动曲线的切线方向甩了出去”，大家都能明白，理解大体的意思。可是一旦问究竟什么是“切线”？却说不清楚了。人的强大直觉能力，使“切线”概念容易意会，但难以言传。
1701016158
1701016159
于是，请“极限”来帮忙，“曲线在一点处的切线是过该点割线的极限位置”（图5.5.1）。意会的对象，就可以言传了。
1701016160
1701016161
1701016162
函数y=f（x）可以看作是坐标平面上的一条曲线。不难理解，式（5.5.2）中给出的是f（x）在a点处的一条割线的斜率；而式（5.5.1）所定义的f（x）在a点处的导数f′（a）则正是曲线f（x）在a点处切线的斜率。如果一点处的导数绝对值很大，则表示切线很陡；如果导数绝对值很小，则表示切线很平。
1701016163
1701016164
我们再一次用切线斜率的变化来看抛物线y=x2的性质。中学里已经用许多方法研究过。今天我们将从切线的变化，以全新的视角加以考察。
1701016165
1701016166
如第二章图2.4.2所示，当-∞＜x＜0时，抛物线左边的切线斜率都是负的，函数单调下降；当x=0时，函数达到最小值，该处的切线斜率等于0；当0＜x＜+∞时，函数单调增加，切线斜率则都是正的。
1701016167
1701016168
1701016169