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让我们回头看费马的论证。在式（5.4.1）中，如果E不是0，等式就不能成立。但是，如果假设E（t）是无穷小量，当t→0时，E（t）→0。在式（5.4.1）的两边取极限，则等式就可以成立了。即
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理由如下：首先，由于A，B都是常数，所以=B（A-B）。而由极限的四则运算性质，得
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=(B+0)┌└A-(B+0)┐┘
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=B(A-B).
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所以左端=右端。
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再往下看。由于E（t）是一个过程，变化过程中不为0，所以从式
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（5.4.2）出发，可得0=┌└（A-2B）E（t）-E（t）2┐┘。因为E（t）在变化过程中不为0，所以等式两边可以除以E （t）。于是有
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即A=2B。这就获得了所需要的结果。
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同样用极限方法，也可以严格论证函数y=xn的微商是nxn-1。
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数学文化教程 第五节 微分之比，“局部”为本
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中学里的函数概念告诉我们，当自变量x变化时，因变量函数f（x）也随着变化。如果问，x变化之后，函数值变化得快不快？如何计算？这就是微分学的任务。
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所谓函数y=f（x）在一点a的导数f′（a），乃是两个无穷小量之比的极限。用数学符号写为，
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其中x是点a附近任意取的一点，自变量的变化是Δx=x-a，由此变化所引起的函数值的变化是Δy=f （x）-f （a），比值
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是函数f（x）当x变化时，所引起函数值的相对变化率。当Δx→0时，也有Δy→0。这两个无穷小量之比的极限，表示f（x）在一点a处的局部变化率。局部变化率大，表示变化剧烈；局部变化率小，表示变化缓慢。局部变化率为0，就是稳定不变。
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