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我们将围绕“微分”和“导数”的概念，开始“寻美”之旅。
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切线，是人类的直觉可以触及的。比如，说“旋转雨伞时，雨滴沿着雨伞的切线方向飞去”，“铅球沿着人体运动曲线的切线方向甩了出去”，大家都能明白，理解大体的意思。可是一旦问究竟什么是“切线”？却说不清楚了。人的强大直觉能力，使“切线”概念容易意会，但难以言传。
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于是，请“极限”来帮忙，“曲线在一点处的切线是过该点割线的极限位置”（图5.5.1）。意会的对象，就可以言传了。
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函数y=f（x）可以看作是坐标平面上的一条曲线。不难理解，式（5.5.2）中给出的是f（x）在a点处的一条割线的斜率；而式（5.5.1）所定义的f（x）在a点处的导数f′（a）则正是曲线f（x）在a点处切线的斜率。如果一点处的导数绝对值很大，则表示切线很陡；如果导数绝对值很小，则表示切线很平。
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我们再一次用切线斜率的变化来看抛物线y=x2的性质。中学里已经用许多方法研究过。今天我们将从切线的变化，以全新的视角加以考察。
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如第二章图2.4.2所示，当-∞＜x＜0时，抛物线左边的切线斜率都是负的，函数单调下降；当x=0时，函数达到最小值，该处的切线斜率等于0；当0＜x＜+∞时，函数单调增加，切线斜率则都是正的。
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▲ 图5.5.1 曲线在一点处的切线 5.5.1
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因此，我们能够明白：如果把函数图像的各点处切线斜率都求出来然后观察切线斜率的变化，就能知道函数的性质（包括单调性、极大极小值点等）。这将是别开生面的创新。读者一定已经从这个简单的例子中，隐隐约约地感受了微积分带来的震撼。
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数学文化教程 第六节 局部思考超越“飞矢不动”——考察瞬时速度
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局部与整体，是一对哲学范畴。要了解微积分，还真需要一点哲学思考。事实上，理解函数的局部性态并与函数的整体性质相联系，乃是领悟微积分思想方法精髓的重要一环。
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整体微分几何的奠基者、数学大师陈省身说过：“微分几何本来是从研究局部性质开始的，到了20世纪40年代趋向整体是一个自然的趋势。在了解了局部性质以后，自然想知道他们的整体性质的含义。令人意想不到的是，有整体意义的几何现象在局部上也特别美妙。”[1]
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这是局部与整体数学观念的一个深刻的概括。
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微积分的基本概念是极限。极限，正是为处理局部才生成的。
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前已提及，切线问题是微分学的几何模型。想要在一条曲线的某一点P画出该点上的切线，只凭这一点所在的位置是画不出来的。我们必须在点P的附近取一点Q，作割线PQ，然后让Q无限接近于P，割线PQ的极限位置就是切线。这里我们用到“附近”一词。所谓P的附近，是指不同于P，但与P的距离可以无限小的那些点。“附近”、“邻域”、“周围”等词所指的局部，有一些朦胧的含义。附近，有多近？邻域，相邻多远？都不固定，小大由之，及至无限小。局部没有大小可言，正是“局部”的哲学意味所在。
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“局部”的思想，其实并不神秘，在日常生活里也有类似的观念。科学地看待事物，就会注意到事物的单元并非一个个的孤立的点，而是一个有内涵的局部。人体由细胞构成，物体由分子构成。社会由小的局部——家庭构成。所以，我们的户口以家庭为单位。由于中国社会也可以看作由许多乡镇构成，所以费孝通的“江村调查”，以解剖一个乡村观察整体，成为中国社会学的经典之作。
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如何考察一个人？孤立地考察一个人是不行的。看人，要问他/她的身世、家庭、学历、社会关系等。但是，考察一个人的周围关系，其范围要多大？并不一定，也是小大由之。一个人的成长，大的局部可以是社会变动、乡土文化、学校影响，小的可以是某老师、某熟人，再小些仅限父母家庭，各人的环境是不同的。这和数学上的“局部”一样，也具有模糊、朦胧的特性。
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让我们再来看微积分的力学模型：“瞬时速度”。
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（1）快慢是人的天性能够感悟的。在父母“慢慢走”、“快快跑”的关怀语中，小孩已经感受了“快慢”。小说中形容瞬间的变化，常用“迅雷不及掩耳”、“说时迟，那时快”、“一跃而上”、“一闪而过”等加以描述。这些说明，人们具有朴素的“瞬间快慢”（或速度）观念。那么何谓快慢？刘翔110米栏的12.88秒成绩，表示了他的平均速度为110米/12.88秒=8.54米/秒。但是，人们还要研究刘翔起跑的瞬间速度和撞线那一瞬间的速度。平均速度和瞬时速度是不一样的。
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瞬时的“快慢”（或速度）也是人们的直觉经常可以感受的。比如，一辆快车从后面赶上慢车的那一刹那，当然是快车的速度比较快。
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一个没有学过微积分的汽车驾驶员，并不知道有平均速度和瞬时速度的区别。但是，当他看到“限速120公里”的标志，却能自然地理解为瞬时限速。他面对的速度表盘，显示的也是瞬时速度。
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《辞海》中“速度”一条的解释是：
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