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1701016243 数学文化教程 第七节 局部与整体沟通的桥梁——导函数与微分中值定理
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1701016245 如前所述,函数f(x)在点x=x0上的导数,记为f′(x),刻画了f(x)在该点的局部性质。如果f(x)在区间[a,b]上每一点都有导数,这就在[a,b]上形成了一个新的函数,称为f(x)的导函数,记做f′(x)。本节将要说明,f′(x)将起到把f(x)在各点上的局部性质与其整体性质联系起来的关键作用。
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1701016247 首先介绍导函数的一些基本性质和一些初等函数的导函数。
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1701016249 导函数的基本性质
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1701016251 (1)(af (x)+bg (x))′ =af′(x)+bg′(x);
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1701016253 (2)(f (x) g (x))′ =f′(x) g (x)+f (x) g′(x);
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1701016256 (3)假设g(x)处处不为0,则;
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1701016259 (4)假设f(u),g(x)都可导,且g(x)的取值都在f(u)的定义域中,则可定义复合函数f(g(x)),其导函数是,
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1701016262 其中表示对f(u)关于自变量u的求导。
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1701016264 上述性质都是从导数的定义推出,具体的推算步骤在此省略。利用这些基本性质,可以容易地计算许多函数的导函数,包括以下一些最基本的导数。
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1701016266 导数简表:一些基本初等函数的导函数
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1701016271 前已提及,利用导函数可以研究函数性质。在应用过程中需要借助微分中值定理。以下介绍最常见的拉格朗日微分中值定理。
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1701016273 定理 设f(x)在[a,b]上点点都有导数,那么在(a,b)中存在一点ξ,使得
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1701016275 f (b)-f (a)=f′(ξ)(b-a).
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1701016277 这是非常深刻的结果。等式左边依赖于固定两点a,b,是整体性的,而右边是在一点ξ处的导数,乃是局部性质。由于我们把局部性质研究透了,整体性质就可以借助局部性质得到深化。
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1701016279 这是典型的纯粹存在性定理,即微分中值定理中的ξ肯定存在于a,b之间,但不确切知道在哪一点。我们用图5.7.1,对此定理做一些说明。将定理的结论改写为
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1701016284 等式的左端正是由点(a,f(a))和点(b,f(b))两点连线的斜率。定理断言,在[a,b]中必有一点ξ,函数图像在该点处的斜率f′(ξ)恰与该连线的斜率相等。从图5.7.1上看,这是合理的。严格的证明从略。
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1701016286 如果已经知道f′(x)在区间[a,b]上恒大于0(或小于0),将微分中值定理用于函数f(x),立刻可知其单调增加(或减少)。
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