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数学文化教程 第七节 局部与整体沟通的桥梁——导函数与微分中值定理
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如前所述，函数f（x）在点x=x0上的导数，记为f′（x），刻画了f（x）在该点的局部性质。如果f（x）在区间[a，b]上每一点都有导数，这就在[a，b]上形成了一个新的函数，称为f（x）的导函数，记做f′（x）。本节将要说明，f′（x）将起到把f（x）在各点上的局部性质与其整体性质联系起来的关键作用。
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首先介绍导函数的一些基本性质和一些初等函数的导函数。
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导函数的基本性质
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(1)(af (x)+bg (x))′ =af′(x)+bg′(x);
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(2)(f (x) g (x))′ =f′(x) g (x)+f (x) g′(x);
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（3）假设g（x）处处不为0，则；
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（4）假设f（u），g（x）都可导，且g（x）的取值都在f（u）的定义域中，则可定义复合函数f（g（x）），其导函数是，
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其中表示对f（u）关于自变量u的求导。
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上述性质都是从导数的定义推出，具体的推算步骤在此省略。利用这些基本性质，可以容易地计算许多函数的导函数，包括以下一些最基本的导数。
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导数简表：一些基本初等函数的导函数
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前已提及，利用导函数可以研究函数性质。在应用过程中需要借助微分中值定理。以下介绍最常见的拉格朗日微分中值定理。
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定理 设f（x）在[a，b]上点点都有导数，那么在（a，b）中存在一点ξ，使得
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f (b)-f (a)=f′(ξ)(b-a).
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这是非常深刻的结果。等式左边依赖于固定两点a，b，是整体性的，而右边是在一点ξ处的导数，乃是局部性质。由于我们把局部性质研究透了，整体性质就可以借助局部性质得到深化。
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这是典型的纯粹存在性定理，即微分中值定理中的ξ肯定存在于a，b之间，但不确切知道在哪一点。我们用图5.7.1，对此定理做一些说明。将定理的结论改写为
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等式的左端正是由点（a，f（a））和点（b，f（b））两点连线的斜率。定理断言，在[a，b]中必有一点ξ，函数图像在该点处的斜率f′（ξ）恰与该连线的斜率相等。从图5.7.1上看，这是合理的。严格的证明从略。
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如果已经知道f′（x）在区间[a，b]上恒大于0（或小于0），将微分中值定理用于函数f（x），立刻可知其单调增加（或减少）。
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