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任给[a,b]上两点x1,x2,x1<x2,由微分中值定理,以及f′(ξ)恒大于0,我们就有
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▲ 图5.7.1 微分中值定理图示
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f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)>0.
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因此f(x2)>f(x1),即f(x)在[a,b]上单调增加。
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这个结论告诉我们:区间上增减——整体性质,每点可导——局部性质,微分中值定理把两者连接起来了。
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数学文化教程 第八节 累积微分,溯源整体
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大自然是局部与整体的统一。近看大海汹涌澎湃,远看则风平浪静;宏观地看长江,整体上是“一江春水向东流”。可是如果局部地看,却是千折百回。整体是由局部构成的。把局部研究透了,自然能够获得更多的整体信息。
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微分学由整体出发,深刻地揭示函数在一点的局部性质。很自然地设想,如果把局部性质研究清楚了,必能反过来更深刻地理解函数的整体性质。这就是说,微分的含义是“细分入微”,进一步的思考则应该是“见微知著”,将函数f(x)各点的微分累积起来,从而了解整体。这样的思考,就走进积分学的范围了。古语云:“譬如积薪,后来居上”。从“积薪”到“积分”,共同的意境是“累积”。
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这一节将从考察曲线图形的面积开始,研究微分学的反问题:在已知函数f(x)各点的局部变化率之后,如何求知其总体变化。
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1.可以意会难以言传的“面积”概念——古代求曲线图形面积之艰难面积是一个相当原始的直觉概念。从牙牙学语起,就知道哪张馅饼大,哪块蛋糕小。不过,到高中毕业,能够求出面积的几何图形,不过是直线构成的图形(即矩形、平行四边形、三角形、多边形等)和圆而已。
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求一般曲线构成的图形面积,很难。“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。”古代中国刘徽的割圆术,以及古希腊阿基米德求抛物线弓形面积,都是很精彩的古代数学计算精品。两者克服困难的处理方法不同,各有千秋。然而,这两个当年难度很大的研究,一旦登上微积分的高峰一看,简直就成了“小菜一碟”,不过是一种统一方法的两个特例而已。
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(1)刘徽的割圆术
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圆周率(即圆的周长与直径之比)的计算,是古代各大文明几乎都会遇到的困难问题。在中国古代早期,人们通常采用“周三径一”的比值;这与实际的圆周率有大约百分之五的误差,用于田地测量、木器制作等日常计算已足够。两汉时期(约公元前后200年间),在天文计算和建造标准容器时,则会采用更精确的圆周率——3.15左右;但这些数值很可能来自经验或物理方法,而非从数学或几何原理推出。
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在中国古代数学经典名著《九章算术》中,除了使用“周三径一”的圆周率,还给出了“半周半径相乘”的圆面积计算公式。这个公式是正确的,但书中并没有证明。
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魏晋时期数学家刘徽(约225—295,图5.8.1),在作《九章算术》注时,首次给出了圆面积公式的严格证明,并在此基础上,创造了计算圆周率的“割圆术”。
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刘徽首先指出,直径二尺之圆内接正六边形的每边长正好等于半径(一尺);所以“周三径一”实为正六边形的周长与直径之比,而非真圆周率。接着指出,正六边形的边长乘以半径再乘3,就得到正十二边形的面积(见图5.8.2);同样道理,将正十二边形的边长乘以半径再乘6,得到正二十四边形的面积;如此下去,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割”,则正多边形的周长“与圆周合体而无所失也”;这就证明了“半周半径相乘”的圆面积公式。然后,刘徽反复运用勾股定理和开方术,依次计算了正3×2n边形(n=2,3,4,5,6)的边长和面积;并由此求得圆周率的近似值3.14,该值后被称为“徽率”。
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两百多年后,南北朝时期数学家祖冲之(429—500,图5.8.3)改进了刘徽的方法,算得3.141 592 6<圆周率<3.141 592 7;并给出以分数形式表示的约率。祖冲之的具体计算方法已失传。但可以验证,只要继续运用刘徽的“割圆术”,直至算出正3×2[2]2边形的边长,就能达到祖冲之的计算精度。
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祖冲之的成就远远超出了当时世界数学的水平。他所给出的8位精度的圆周率,直到960年后,才被波斯数学家卡西(Jamshīd al-Kāshī,1380—1429)超越。后者计算了正3×228边形的边长,并由此得到17位精度的圆周率。祖冲之的密率与圆周率的误差小于0.000001!是分母在16604以内逼近圆周率的最佳分数,欧洲数学家在1100多年后才知道它。
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(2)阿基米德的弓形面积计算1
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如图5.8.4所示,古希腊数学家阿基米德证明了,抛物线弓形ACB的面积等于 ABC面积的倍。
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