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1701016321 在中国古代数学经典名著《九章算术》中，除了使用“周三径一”的圆周率，还给出了“半周半径相乘”的圆面积计算公式。这个公式是正确的，但书中并没有证明。

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1701016323 魏晋时期数学家刘徽（约225—295，图5.8.1），在作《九章算术》注时，首次给出了圆面积公式的严格证明，并在此基础上，创造了计算圆周率的“割圆术”。

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1701016325 刘徽首先指出，直径二尺之圆内接正六边形的每边长正好等于半径（一尺）；所以“周三径一”实为正六边形的周长与直径之比，而非真圆周率。接着指出，正六边形的边长乘以半径再乘3，就得到正十二边形的面积（见图5.8.2）；同样道理，将正十二边形的边长乘以半径再乘6，得到正二十四边形的面积；如此下去，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”，则正多边形的周长“与圆周合体而无所失也”；这就证明了“半周半径相乘”的圆面积公式。然后，刘徽反复运用勾股定理和开方术，依次计算了正3×2n边形（n=2，3，4，5，6）的边长和面积；并由此求得圆周率的近似值3.14，该值后被称为“徽率”。

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1701016328 两百多年后，南北朝时期数学家祖冲之（429—500，图5.8.3）改进了刘徽的方法，算得3.141 592 6＜圆周率＜3.141 592 7；并给出以分数形式表示的约率。祖冲之的具体计算方法已失传。但可以验证，只要继续运用刘徽的“割圆术”，直至算出正3×2[2]2边形的边长，就能达到祖冲之的计算精度。

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1701016331 祖冲之的成就远远超出了当时世界数学的水平。他所给出的8位精度的圆周率，直到960年后，才被波斯数学家卡西（Jamshīd al-Kāshī，1380—1429）超越。后者计算了正3×228边形的边长，并由此得到17位精度的圆周率。祖冲之的密率与圆周率的误差小于0.000001！是分母在16604以内逼近圆周率的最佳分数，欧洲数学家在1100多年后才知道它。

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1701016333 （2）阿基米德的弓形面积计算1

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1701016336 如图5.8.4所示，古希腊数学家阿基米德证明了，抛物线弓形ACB的面积等于 ABC面积的倍。

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1701016341 ▲ 图5.8.1 刘徽

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1701016346 ▲ 图5.8.2 “割圆术”示意

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1701016351 ▲ 图5.8.3 祖冲之

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1701016353 首先，他证明了弓形ACB可以被一连串的三角形所“穷尽”。这一连串三角形的作法如下（见图5.8.4）：从AC、BC的中点K、L各作抛物线对称轴的平行线，分别交抛物线于P、Q，得 APC和 BQC，填充于弓形与 ABC之间的空隙处。依同法，从AP、CP、CQ、BQ的各中点作抛物线对称轴的平行线，交抛物线于四点，而又可得四个三角形填充于所剩下的空隙。如此反复进行，就可以得到一连串的三角形。

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1701016355 第二步要证明这些小三角形的面积和 ABC有着简单的关系。阿基米德证明了

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