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前已提及，利用导函数可以研究函数性质。在应用过程中需要借助微分中值定理。以下介绍最常见的拉格朗日微分中值定理。
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定理 设f（x）在[a，b]上点点都有导数，那么在（a，b）中存在一点ξ，使得
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f (b)-f (a)=f′(ξ)(b-a).
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这是非常深刻的结果。等式左边依赖于固定两点a，b，是整体性的，而右边是在一点ξ处的导数，乃是局部性质。由于我们把局部性质研究透了，整体性质就可以借助局部性质得到深化。
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这是典型的纯粹存在性定理，即微分中值定理中的ξ肯定存在于a，b之间，但不确切知道在哪一点。我们用图5.7.1，对此定理做一些说明。将定理的结论改写为
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等式的左端正是由点（a，f（a））和点（b，f（b））两点连线的斜率。定理断言，在[a，b]中必有一点ξ，函数图像在该点处的斜率f′（ξ）恰与该连线的斜率相等。从图5.7.1上看，这是合理的。严格的证明从略。
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如果已经知道f′（x）在区间[a，b]上恒大于0（或小于0），将微分中值定理用于函数f（x），立刻可知其单调增加（或减少）。
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任给[a，b]上两点x1，x2，x1＜x2，由微分中值定理，以及f′（ξ）恒大于0，我们就有
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▲ 图5.7.1 微分中值定理图示
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f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)＞0.
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因此f（x2）＞f（x1），即f（x）在[a，b]上单调增加。
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这个结论告诉我们：区间上增减——整体性质，每点可导——局部性质，微分中值定理把两者连接起来了。
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数学文化教程 第八节 累积微分，溯源整体
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大自然是局部与整体的统一。近看大海汹涌澎湃，远看则风平浪静；宏观地看长江，整体上是“一江春水向东流”。可是如果局部地看，却是千折百回。整体是由局部构成的。把局部研究透了，自然能够获得更多的整体信息。
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微分学由整体出发，深刻地揭示函数在一点的局部性质。很自然地设想，如果把局部性质研究清楚了，必能反过来更深刻地理解函数的整体性质。这就是说，微分的含义是“细分入微”，进一步的思考则应该是“见微知著”，将函数f（x）各点的微分累积起来，从而了解整体。这样的思考，就走进积分学的范围了。古语云：“譬如积薪，后来居上”。从“积薪”到“积分”，共同的意境是“累积”。
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这一节将从考察曲线图形的面积开始，研究微分学的反问题：在已知函数f（x）各点的局部变化率之后，如何求知其总体变化。
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1.可以意会难以言传的“面积”概念——古代求曲线图形面积之艰难面积是一个相当原始的直觉概念。从牙牙学语起，就知道哪张馅饼大，哪块蛋糕小。不过，到高中毕业，能够求出面积的几何图形，不过是直线构成的图形（即矩形、平行四边形、三角形、多边形等）和圆而已。
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求一般曲线构成的图形面积，很难。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”古代中国刘徽的割圆术，以及古希腊阿基米德求抛物线弓形面积，都是很精彩的古代数学计算精品。两者克服困难的处理方法不同，各有千秋。然而，这两个当年难度很大的研究，一旦登上微积分的高峰一看，简直就成了“小菜一碟”，不过是一种统一方法的两个特例而已。
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（1）刘徽的割圆术
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圆周率（即圆的周长与直径之比）的计算，是古代各大文明几乎都会遇到的困难问题。在中国古代早期，人们通常采用“周三径一”的比值；这与实际的圆周率有大约百分之五的误差，用于田地测量、木器制作等日常计算已足够。两汉时期（约公元前后200年间），在天文计算和建造标准容器时，则会采用更精确的圆周率——3.15左右；但这些数值很可能来自经验或物理方法，而非从数学或几何原理推出。