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▲ 图5.8.1 刘徽
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▲ 图5.8.2 “割圆术”示意
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▲ 图5.8.3 祖冲之
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首先，他证明了弓形ACB可以被一连串的三角形所“穷尽”。这一连串三角形的作法如下（见图5.8.4）：从AC、BC的中点K、L各作抛物线对称轴的平行线，分别交抛物线于P、Q，得 APC和 BQC，填充于弓形与 ABC之间的空隙处。依同法，从AP、CP、CQ、BQ的各中点作抛物线对称轴的平行线，交抛物线于四点，而又可得四个三角形填充于所剩下的空隙。如此反复进行，就可以得到一连串的三角形。
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第二步要证明这些小三角形的面积和 ABC有着简单的关系。阿基米德证明了
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于是，如果设 ABC的面积为S0，则第一次填空隙的两个三角形面积和为。同理，第二次填空隙的四个三角形每个面积都等于第一次填空隙所用三角形（如 APC）的，所以总面积和为。如此类推，第n次填空隙的三角形面积和。所以
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阿基米德用的方法也是“分割”，即将弓形割成一些大小不等的三角形，用这些三角形面积之和加以近似，然后取极限得到精确值。其思想和刘徽的割圆法基本相同。至于计算方法，用到等比级数求和。在古代，那是一种很高级的理性思考和繁难的计算技巧。
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▲ 图5.8.4 抛物线弓形面积计算示意图
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东方和西方的两个伟大数学家走的是同一条道路：分割，作和，极限，获得结果。就数学思想方法而言，都是从“微小”的局部出发，加以累积，得出整体的结果。
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刘徽和阿基米德的工作，如果只站在各自具体的几何图景中，就会横看是岭、侧看是峰。但是，两者都看不到隐藏在背后的深刻联系。“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”到了17世纪笛卡儿的时代，用坐标系来观察，就发现原来两者是可以统一起来的。跳出来一看，才会识得庐山真面目。
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（3）在直角坐标系中求曲边梯形的统一方法
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在直角坐标系中，曲线可以用函数来表示。我们考察一种曲边梯形，它由连续曲线y=f（x），x轴与直线x=a，x=b所围成。如图5.8.5所示。
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圆弧和抛物线都是曲线，在直角坐标系上，可以分别用
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