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第二步要证明这些小三角形的面积和 ABC有着简单的关系。阿基米德证明了
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于是，如果设 ABC的面积为S0，则第一次填空隙的两个三角形面积和为。同理，第二次填空隙的四个三角形每个面积都等于第一次填空隙所用三角形（如 APC）的，所以总面积和为。如此类推，第n次填空隙的三角形面积和。所以
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阿基米德用的方法也是“分割”，即将弓形割成一些大小不等的三角形，用这些三角形面积之和加以近似，然后取极限得到精确值。其思想和刘徽的割圆法基本相同。至于计算方法，用到等比级数求和。在古代，那是一种很高级的理性思考和繁难的计算技巧。
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▲ 图5.8.4 抛物线弓形面积计算示意图
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东方和西方的两个伟大数学家走的是同一条道路：分割，作和，极限，获得结果。就数学思想方法而言，都是从“微小”的局部出发，加以累积，得出整体的结果。
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刘徽和阿基米德的工作，如果只站在各自具体的几何图景中，就会横看是岭、侧看是峰。但是，两者都看不到隐藏在背后的深刻联系。“不识庐山真面目，只缘身在此山中。”到了17世纪笛卡儿的时代，用坐标系来观察，就发现原来两者是可以统一起来的。跳出来一看，才会识得庐山真面目。
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（3）在直角坐标系中求曲边梯形的统一方法
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在直角坐标系中，曲线可以用函数来表示。我们考察一种曲边梯形，它由连续曲线y=f（x），x轴与直线x=a，x=b所围成。如图5.8.5所示。
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圆弧和抛物线都是曲线，在直角坐标系上，可以分别用
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的函数加以描述。当年刘徽的割圆术将圆割成正多边形，阿基米德将弓形割成三角形，两位先贤对不同的曲线图形用不同的“割”法，好像“手工作坊”里的制作。在曲边梯形的“工厂”里，则有机械化的统一“割”法，一律割成宽为Δx，高为f（x）的小矩形之和，然后进行“流水线”式的生产，情况就大不一般了。
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具体操作规程是，先把区间[a，b]分成许多小区间（图5.8.6），在每个小区间上，用其中某一点的高来近似地代替同一个小区间上的弯曲变化，并根据矩形的面积公式，得到曲边梯形上某“一条”面积的近似值，然后作和求极限，从而求出整个曲边梯形的面积。
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还是先看一个具体的例子。
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例 试求直线x=1，y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
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解 如图5.8.7所示。我们将这块弓形的底边（长度为1）10等分。在插入的第一个分点处，作一底宽为0.1，高为0.12的矩形；在第2个分点处，做一底宽为0.1，高为0.22的矩形……在9个分点处，做一底宽为0.1，高为0.92的矩形；最后，在点1处，作一底宽为0.1，高为12的矩形。这些小矩形将抛物弓形盖住，其面积的总和是。
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一般地分为n等份，则面积总和是
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