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现在分别令n=102，103，…，10k，…，则当k→∞，分割就越来越细，和都将趋向于0，所以小矩形面积之和最终趋向于1/3。这就是抛物线围成的曲边梯形的面积
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▲ 图5.8.5 曲边梯形的面积
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▲ 图5.8.6 曲边梯形面积的近似求法
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▲ 图5.8.7 y=x 2所围成的曲边梯形的面积
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在本例中，也可以从阿基米德计算的弓形面积出发得到结果。这时抛物弓形的内接三角形的三点坐标是（0，0），（1，1）。不难算出它的面积是。于是弓形面积是。这样一来，抛物线围成的曲边梯形的面积是，与用积分方法得到的结果相同。
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这一思想的核心仍然是以直代曲，用直边的小矩形取代小曲边梯形，然后小矩形面积之和取极限后即可求得曲边梯形的面积。这里的曲边，是指各点的局部有变化，而且每点的变化情况都不同。我们的方法是将各点的变化（微分）累积起来，运用极限方法，跨越无限门槛，最后获得整体的面积。
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这再次说明，所谓积分，乃将微分累积起来之意也。
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2.分成局部，积成整体——走近“定积分”
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将上述求曲边梯形的思想一般化，就得到定积分的定义。
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定义 设函数y=f（x）是在区间[a，b]上的连续函数[3]。将区间划分为
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a=x0 ＜x1＜…＜xn =b,
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任取ξi∈[xi-1，x，i ]，Δxi ≜xi-xi-1，i=1 2，，…，n，求和。若
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存在，则称之为f（x）在区间[a，b]上的定积分，记为，a，b分别称为定积分的下限和上限。
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显然，定积分的几何意义，就是求曲边梯形的面积。不过这里的f （x）dx可正可负。几何地看，面积有正负。例如可以出现图5.8.8中的情形。