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具体操作规程是，先把区间[a，b]分成许多小区间（图5.8.6），在每个小区间上，用其中某一点的高来近似地代替同一个小区间上的弯曲变化，并根据矩形的面积公式，得到曲边梯形上某“一条”面积的近似值，然后作和求极限，从而求出整个曲边梯形的面积。
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还是先看一个具体的例子。
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例 试求直线x=1，y=0与曲线y=x 2所围成的曲边梯形的面积。
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解 如图5.8.7所示。我们将这块弓形的底边（长度为1）10等分。在插入的第一个分点处，作一底宽为0.1，高为0.12的矩形；在第2个分点处，做一底宽为0.1，高为0.22的矩形……在9个分点处，做一底宽为0.1，高为0.92的矩形；最后，在点1处，作一底宽为0.1，高为12的矩形。这些小矩形将抛物弓形盖住，其面积的总和是。
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一般地分为n等份，则面积总和是
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现在分别令n=102，103，…，10k，…，则当k→∞，分割就越来越细，和都将趋向于0，所以小矩形面积之和最终趋向于1/3。这就是抛物线围成的曲边梯形的面积
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▲ 图5.8.5 曲边梯形的面积
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▲ 图5.8.6 曲边梯形面积的近似求法
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▲ 图5.8.7 y=x 2所围成的曲边梯形的面积
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在本例中，也可以从阿基米德计算的弓形面积出发得到结果。这时抛物弓形的内接三角形的三点坐标是（0，0），（1，1）。不难算出它的面积是。于是弓形面积是。这样一来，抛物线围成的曲边梯形的面积是，与用积分方法得到的结果相同。
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这一思想的核心仍然是以直代曲，用直边的小矩形取代小曲边梯形，然后小矩形面积之和取极限后即可求得曲边梯形的面积。这里的曲边，是指各点的局部有变化，而且每点的变化情况都不同。我们的方法是将各点的变化（微分）累积起来，运用极限方法，跨越无限门槛，最后获得整体的面积。
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这再次说明，所谓积分，乃将微分累积起来之意也。
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2.分成局部，积成整体——走近“定积分”
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将上述求曲边梯形的思想一般化，就得到定积分的定义。
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