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1701016440 定义设函数y=f（x）是在区间[a，b]上的连续函数[3]。将区间划分为

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1701016442 a=x0 ＜x1＜…＜xn =b,

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1701016445 任取ξi∈[xi-1，x，i ]，Δxi ≜xi-xi-1，i=1 2，，…，n，求和。若

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1701016451 存在，则称之为f（x）在区间[a，b]上的定积分，记为，a，b分别称为定积分的下限和上限。

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1701016453 显然，定积分的几何意义，就是求曲边梯形的面积。不过这里的f （x）dx可正可负。几何地看，面积有正负。例如可以出现图5.8.8中的情形。

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1701016455 下面我们对定积分的定义及其符号做些说明。

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1701016460 从形式上看，f （x）dx是微分dx和f （x）dx的乘积，我们称之为函数的微元。微元的几何意义是函数f （x）dx在x处的一个微分矩形。和式取极限，不妨看作是微元f （x）dx作和。极限值用符号f （x）dx表示，其中是将符号Σ展开拉直的结果，上下端表示积分的区间。这一符号为莱布尼茨创立，沿用至今。用微元观点看定积分，虽然不大严格，但是形神兼备，其中既有被积函数f （x）dx，积分变元dx，还有上下积分限，要件都齐了，简易而清晰。

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1701016462 3.定积分作为平均值：再次认识局部与整体的辩证关系

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1701016464 局部与整体不可分割，互为依托。面对一个区间段[a，b]上的函数f （x）dx。我们既看到了一个个的局部：f （x）dx，更看到函数的整体变化量。对一昼夜的某地温度而言，它是一个连续变化着的函数H（t），t∈[0，24]。如果问：“这一昼夜”的平均温度是多少？显然，这是一个整体概念，涉及这24小时的每一时刻的温度，一刻也不能少。这就是说，整体依赖每一个局部。

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1701016466 反之，局部概念又依赖于整体的思考。让我们回想瞬时速度的定义。它是一个局部的概念。然而，它又被定义为小区间段内平均速度的极限。如上所说，平均速度是一个整体的概念。再小的区间段，里面也有连续变化着的无数个时刻。是一个“小的整体”。

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