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下面我们对定积分的定义及其符号做些说明。
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从形式上看，f （x）dx是微分dx和f （x）dx的乘积，我们称之为函数的微元。微元的几何意义是函数f （x）dx在x处的一个微分矩形。和式取极限，不妨看作是微元f （x）dx作和。极限值用符号f （x）dx表示，其中是将符号Σ展开拉直的结果，上下端表示积分的区间。这一符号为莱布尼茨创立，沿用至今。用微元观点看定积分，虽然不大严格，但是形神兼备，其中既有被积函数f （x）dx，积分变元dx，还有上下积分限，要件都齐了，简易而清晰。
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3.定积分作为平均值：再次认识局部与整体的辩证关系
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局部与整体不可分割，互为依托。面对一个区间段[a，b]上的函数f （x）dx。我们既看到了一个个的局部：f （x）dx，更看到函数的整体变化量。对一昼夜的某地温度而言，它是一个连续变化着的函数H（t），t∈[0，24]。如果问：“这一昼夜”的平均温度是多少？显然，这是一个整体概念，涉及这24小时的每一时刻的温度，一刻也不能少。这就是说，整体依赖每一个局部。
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反之，局部概念又依赖于整体的思考。让我们回想瞬时速度的定义。它是一个局部的概念。然而，它又被定义为小区间段内平均速度的极限。如上所说，平均速度是一个整体的概念。再小的区间段，里面也有连续变化着的无数个时刻。是一个“小的整体”。
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▼ 图5.8.8 曲边梯形面积的正负
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这一段，我们考察定积分如何反映“平均值”这样的整体性质。
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我们习惯的平均数是有限个值的平均。有限个数a1，a2，…，an的平均值是指
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那么，连续函数表示的无限多个值的平均数怎样定义呢？例如，根据连续测温仪，测得某地时间间隔[a，b]中每一时刻t的温度为f（t）。那么，该地的平均温度应该是多少呢？
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首先想到，将一天分成n份，在分点处，即时刻（i=0，1，2，···，n）
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时，温度为h （t）。把平均值作为一天的平均温度，其中表示时刻ti的温度h（ti），保持了天。
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让我们看定积分。它是积分和的极限。如果将闭区间[0，1]作n等份，插入的分点是0=x0＜x1＜…＜xn=1，那么xi-xi-1都h等（ti于）。这时和式
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就是n个函数值f （xi ）（i=1，2，···，n）的平均值。现在令n→∞，就相当于f（x）在[0，1]上的平均值，而这正是积分。
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这样一来，定积分和平均温度就联系在一起了。
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一般地，考察f（x）在区间[a，b]上的平均值，它当然就可以定义为
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