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（3）积分的单调性。若x [a，b]，有f （x） g（x）
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以上三项基本性质。直接用定义就能推出来。
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最后我们要证明：
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定积分的中值定理 如果函数f （x）在闭区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点ξ，使得
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证明 设f （x）在[a，b]上的最小值和最大值分别是m，M。则有
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既然f （x）dx介于连续函数f （x）在闭区间[a，b]上的最小值m与最大值M之间，则根据介值定理（见本章第三节），在[a，b]上至少存在一点ξ，使得
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证毕。
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定积分中值定理可以解释许多几何与物理现象。以下是两个例子。
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（1）如图5.8.9：以区间[a，b]为底边，以曲线y=f （x）为高的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的矩形面积。
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（2）如果y=f （t）表示在时刻t的温度，则在时间段[a，b]上的平均温度，必然与在某一时刻ξ∈（a，b）的温度f （ξ）相等。
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▲ 图5.8.9 积分中值定理示意图
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数学文化教程 [:1701013741]
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数学文化教程 第九节 更上一层楼：寻找原函数
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如果函数F （x）的导F′数（x）是=f （x），即F′（x）=f （x），那么称F （x）为F′（x）=f （x）的一个原F函′（数x）。=f （x）的原函数不止一个，彼此之间相差一个常数。使用莱布尼茨的符号，记之为
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F (x)+C=∫f (x) dx,