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其中∫表示F求′（函x）数=f （x）原函数的运算，称为不定积分。
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这样一来，在理论上就有了这样的函数链条，一个函数F （x）通过不断地求导，得到向右伸展的无限序列：
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F′(x),F′′(x),F′′′(x),···,F(n) (x),···
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这样的函数是有的（我们称之为解析函数），如sin x，cos x等。
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另一方面，许F多′（函x）数=f （x）可以有原函数，而原函数又可以有原函数。于是得到向左的无限序列：
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…,∫∫∫f (x)dxdxdx,∫∫f (x)dxdx,∫f (x)dx,f (x).
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例如，以y=x2为中心，它的导函数是y′=2 x（下一级）；而它又是的导数，后者构成了它的一个原函数（上一级）。y=x2的有些整体性质（增减、极值等）靠它的“下级”函数来展示，而围成的曲边梯形面积的整体性质则靠它的“上级”函数（原函数）来刻画。这样，环环相扣，函数性质的研究到达微积分时代，开创了初等数学所无法达到的新局面。
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我们首先要问，什么样的函数必定会存在原函数呢？
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答案F是′（，x）若=f （x）在区间[a，b]上连续，则一定有原函数。怎样思考呢？还是回到定积分的几何意义：曲边梯形的面积。由图5.9.1可知，整个曲边梯形面积是一段段的微矩形面积累加起来的。每个微矩形的底边长dxF，′（高x）是=f （x），其面积是[a，x+Δx]段上的曲边梯形面积f （x）d，
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减去[a，x]段上曲边梯形的面积（）df x x。于是，我们可以把（）df x x看作是x的函数，并F称′（之x）为=f （x）的活动上限积分函数。
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积分学基本定理 F若′（函x）数=f （x）在区间[a，b]上连续，则其活动上限定积分F（x）=f （t）dt可导，且F′（x）=。
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▲ 图5.9.1
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如何求出任意函数的原函数以及不定积分，需要一些运算技巧。好在平常所见的一些初等函数，有积分表可以查。本书不拟多所涉及。
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数学文化教程 [:1701013742]
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数学文化教程 第十节 一桥飞架南北，天堑变通途——牛顿—莱布尼茨公式
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现在我们有了两种积分：定积分和不定积分。定积分的思想来自求曲边梯形面积，和微分学本无直接联系。至于不定积分，则直接从“导数”的反问题引出。那么两者间究竟有怎样的关系呢？这一节的微积分基本定理将给出答案。
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我们先从整体上作一考察。如前所说，求曲边梯形面积的本质在于将局部的微分累积起来，借用极限方法获知整体结论。不定积分则是求原函数，例如，已知时间间隔[a，b]上的速度函数v（t），求位移函数S（t）。
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我们已经理解，在时间间隔[t，t+Δt]内，物体运动的位移约为v（t）·Δt，