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1701016564 数学文化教程 [:1701013741]

1701016565 数学文化教程第九节更上一层楼：寻找原函数

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1701016567 如果函数F （x）的导F′数（x）是=f （x），即F′（x）=f （x），那么称F （x）为F′（x）=f （x）的一个原F函′（数x）。=f （x）的原函数不止一个，彼此之间相差一个常数。使用莱布尼茨的符号，记之为

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1701016569 F (x)+C=∫f (x) dx,

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1701016571 其中∫表示F求′（函x）数=f （x）原函数的运算，称为不定积分。

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1701016573 这样一来，在理论上就有了这样的函数链条，一个函数F （x）通过不断地求导，得到向右伸展的无限序列：

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1701016575 F′(x),F′′(x),F′′′(x),···,F(n) (x),···

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1701016577 这样的函数是有的（我们称之为解析函数），如sin x，cos x等。

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1701016579 另一方面，许F多′（函x）数=f （x）可以有原函数，而原函数又可以有原函数。于是得到向左的无限序列：

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1701016581 …,∫∫∫f (x)dxdxdx,∫∫f (x)dxdx,∫f (x)dx,f (x).

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1701016584 例如，以y=x2为中心，它的导函数是y′=2 x（下一级）；而它又是的导数，后者构成了它的一个原函数（上一级）。y=x2的有些整体性质（增减、极值等）靠它的“下级”函数来展示，而围成的曲边梯形面积的整体性质则靠它的“上级”函数（原函数）来刻画。这样，环环相扣，函数性质的研究到达微积分时代，开创了初等数学所无法达到的新局面。

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1701016586 我们首先要问，什么样的函数必定会存在原函数呢？

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1701016589 答案F是′（，x）若=f （x）在区间[a，b]上连续，则一定有原函数。怎样思考呢？还是回到定积分的几何意义：曲边梯形的面积。由图5.9.1可知，整个曲边梯形面积是一段段的微矩形面积累加起来的。每个微矩形的底边长dxF，′（高x）是=f （x），其面积是[a，x+Δx]段上的曲边梯形面积f （x）d，

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