打字猴:1.701016564e+09
1701016564 数学文化教程 [:1701013741]
1701016565 数学文化教程 第九节 更上一层楼:寻找原函数
1701016566
1701016567 如果函数F (x)的导F′数(x)是=f (x),即F′(x)=f (x),那么称F (x)为F′(x)=f (x)的一个原F函′(数x)。=f (x)的原函数不止一个,彼此之间相差一个常数。使用莱布尼茨的符号,记之为
1701016568
1701016569 F (x)+C=∫f (x) dx,
1701016570
1701016571 其中∫表示F求′(函x)数=f (x)原函数的运算,称为不定积分。
1701016572
1701016573 这样一来,在理论上就有了这样的函数链条,一个函数F (x)通过不断地求导,得到向右伸展的无限序列:
1701016574
1701016575 F′(x),F′′(x),F′′′(x),···,F(n) (x),···
1701016576
1701016577 这样的函数是有的(我们称之为解析函数),如sin x,cos x等。
1701016578
1701016579 另一方面,许F多′(函x)数=f (x)可以有原函数,而原函数又可以有原函数。于是得到向左的无限序列:
1701016580
1701016581 …,∫∫∫f (x)dxdxdx,∫∫f (x)dxdx,∫f (x)dx,f (x).
1701016582
1701016583
1701016584 例如,以y=x2为中心,它的导函数是y′=2 x(下一级);而它又是的导数,后者构成了它的一个原函数(上一级)。y=x2的有些整体性质(增减、极值等)靠它的“下级”函数来展示,而围成的曲边梯形面积的整体性质则靠它的“上级”函数(原函数)来刻画。这样,环环相扣,函数性质的研究到达微积分时代,开创了初等数学所无法达到的新局面。
1701016585
1701016586 我们首先要问,什么样的函数必定会存在原函数呢?
1701016587
1701016588
1701016589 答案F是′(,x)若=f (x)在区间[a,b]上连续,则一定有原函数。怎样思考呢?还是回到定积分的几何意义:曲边梯形的面积。由图5.9.1可知,整个曲边梯形面积是一段段的微矩形面积累加起来的。每个微矩形的底边长dxF,′(高x)是=f (x),其面积是[a,x+Δx]段上的曲边梯形面积f (x)d,
1701016590
1701016591
1701016592
1701016593 减去[a,x]段上曲边梯形的面积()df x x。于是,我们可以把()df x x看作是x的函数,并F称′(之x)为=f (x)的活动上限积分函数。
1701016594
1701016595
1701016596
1701016597 积分学基本定理 F若′(函x)数=f (x)在区间[a,b]上连续,则其活动上限定积分F(x)=f (t)dt可导,且F′(x)=。
1701016598
1701016599
1701016600
1701016601
1701016602 ▲ 图5.9.1
1701016603
1701016604
1701016605
1701016606
1701016607 如何求出任意函数的原函数以及不定积分,需要一些运算技巧。好在平常所见的一些初等函数,有积分表可以查。本书不拟多所涉及。
1701016608
1701016609
1701016610
1701016611
1701016612 数学文化教程 [:1701013742]
1701016613 数学文化教程 第十节 一桥飞架南北,天堑变通途——牛顿—莱布尼茨公式
[ 上一页 ]  [ :1.701016564e+09 ]  [ 下一页 ]