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现在我们有了两种积分：定积分和不定积分。定积分的思想来自求曲边梯形面积，和微分学本无直接联系。至于不定积分，则直接从“导数”的反问题引出。那么两者间究竟有怎样的关系呢？这一节的微积分基本定理将给出答案。
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我们先从整体上作一考察。如前所说，求曲边梯形面积的本质在于将局部的微分累积起来，借用极限方法获知整体结论。不定积分则是求原函数，例如，已知时间间隔[a，b]上的速度函数v（t），求位移函数S（t）。
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我们已经理解，在时间间隔[t，t+Δt]内，物体运动的位移约为v（t）·Δt，
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相当于以Δt为底边，v（t）为高的一个小矩形的面积。将这些小位移累积起来取极限，获知物体从S（a）移动到了S（b），整体的位移是S（b）-S（a）。仔细地品味一下，这似乎同样是一个积分过程。所以二者必有内在的联系。
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于是我们猜想，如果FF′（（xx））是=f （x）的原函数，即F′（x）=f （x），那么
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先看一些例子。
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例1（匀速直线运动）在时间间隔[a，b]内，v（t）是一常数k，其图像是一条水平线段，与t轴围成的图形是矩形：宽度是时间长b-a，高度是速度k。相乘得到的面积，即时间乘以速度，也就得到位移s（t）=k （b-a）。
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kt是常数k的原函数，此时的F （b）-F （a）=kb-ka=k （b-a）。
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例2（自由落体运动）考察一物体在时间间隔[0，T]内自由下落，其初始速度是0，重力加速度g是常数。于是各个时刻的瞬时速度是v（t）=gt。它的图像是自原点出发的一条线段，与t轴，t=T围成的图形是三角形，面积是。再看v（t）的一个原函数是S （t）=（1/2）gt2。此时S（T）-S（0）=。
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这样看来，我们的猜想是有实例支持的。
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微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公F式′（）x）设=f （x）是定义在[a，b]上的函数，形成了一个曲边梯形M；FF′（（xx））是=f （x）的一个原函数，那么曲边梯形的面积π（M）可以表示为
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证明 在[a，b]中插入n-1个分点，使得
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a=x0 ＜x1＜…＜xn-1＜xn =b.
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我们有
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当划分无限细密时，右端取极限就F是′（函x）数=f （x）的定积分定义。证毕。
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微积分基本定理说明，连续函数的定积分计算不必大动干戈，只要寻求它的原函数在两端点函数值之差即可。
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还记得前面求抛物线下曲边梯形的例子吗？那里用分割、作和、级数求和公式，取极限，最后得到结果是1/3。现在看微积分基本定理怎样解决这个问题：
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例1 求x2dx。
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