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数学文化教程 第十一节 微分搭台，方程唱戏
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微积分学一旦形成，就开始独立发展。微分方程和微分几何成为现代数学最重要的学科。本节介绍有关微分方程的一些知识。
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（1）最简单的微分方程y′（t）=y （t）
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此方程描述了一种变化过程：其变化速度和本身大小相等。这使我们想起函数ex，它的导数就是自己：d （ex ）/dx=ex。
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所以，ex是微分方程y′（t）=y （t）的一个解。不难论证，cex（其中c是任意的常数）是该方程的全部解。
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（2）微分方程y′（t）=ky （t），k是常数
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这一方程有着广泛的应用。我们看一些例子（前两个例子是增长过程，k是正数；第三个例子是“衰减”过程，k是负数）。
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● 人口增长。人口底数越大，人口增长越快；因为能生孩子的人多，出生孩子就多。
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● 疾病传染。被流感感染的患病者数量越多，流感的扩散速度就越快。
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● 碳同位素C14，在某生物活体中的比例是固定的。该生物体死亡之后，按照一定的速度衰减，C14越多，衰减越快；C14越少，衰减越慢。按照半衰期计算，可以测知该生物体的考古年龄。
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不难求出微分方程y′（t）=ky（t）的通解为y（t）=y（0）ekt。它可以表示每一时刻的人口数、流感患者人数、C14的残留数（由此可以推断出土文物的年代），等等。关键在于比例系数k的确定。
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（3）微分方程与当代人类文明
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微分和方程的结合产生了无穷的威力。大自然这本书在很大程度上是用微分方程写成的。我们以下列举一些改变了人类文明进程的重要方程。
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● 牛顿运动方程。牛顿在其1687年发表的名著《自然哲学的数学原理》中，首次提出了关于物体运动的三大定律，其中牛顿第二定律可以归结为一个微分方程
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F=ma=mv′(t)=ms′′(t),
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其中F是作用力，m是物体的质量，a是物体运动的加速度，它等于速度v（t）的一阶导数或距离函数s（t）的二阶导数。这是人类使用微积分工具首次获得的重大科学成果！宇宙奥秘之门从此开启，大至天体运行，小到尘粒飞扬，尽在把握之中。
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● 麦克斯韦电磁学方程。英国数学家、物理学家麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831—1879）总结法拉第等人关于电磁效应的实验成果，于1864年提出了一组偏微分方程。该方程组首次证明，光就是电磁波！从此，电和磁这两个“怪物”被驯服，给人类带来了无数的神奇产品：电灯、电报、电话、收音机、电视机、电动机、手机……
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● 傅里叶热传导方程，描写热传导和其他扩散过程。法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）于1822年提出。该方程无论对于数学还是对于物理学，都具有极其重要意义，是大学数学物理课程中必修的内容。
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● 爱因斯坦广义相对论方程。从某种意义上讲，爱因斯坦（A.Einstein，1879—1955）于1916年提出的这一方程是牛顿运动方程和牛顿万有引力定律的推广。从该方程能推出引力使空间弯曲的论断，而且已被科学观察证实！
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● 杨-米尔斯规范场方程。麦克斯韦电磁方程描述了电磁力的作用。杨振宁和罗伯特·米尔斯（L.Mills）于1954年提出的方程，试图推广麦克斯韦方程，以描述原子核中的强相互作用。如今，杨-米尔斯规范场理论已能统一描述电磁力、强力、弱力，10多位物理学家因此获得诺贝尔奖。此外，为了求解这种非交换规范场方程，需要用到微分几何、李代数、算子代数、拓扑学等大量高深的数学工具，促进了这些数学学科的进一步发展。
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● 薛定谔量子力学基本方程。微观粒子的运动并不遵循牛顿力学，很难把握。然而，奥地利物理学家薛定谔（Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger，1887—1961），却于1926年找到了一个能描述微观粒子运动的偏微分方程，从而奠定了量子力学的理论基础。如今，量子力学和相对论被称为是现代物理学的两大基本支柱。
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● 纳威尔-斯托克斯流体力学方程。它首先由法国工程师和物理学家纳威尔（Claude-Louis Navier，1785—1836）于1821年得到，又被英国数学家和物理学家斯托克斯（George Gabriel Stokes，1819—1903）在1845年重新发现，因而以他们两人的姓命名。该方程的应用领域极其广泛：如用于描述大气层气流运动、海洋中洋流运动、管道气体或液体流动、动物体内血液流动、宇宙星体运动，还可用于磁流体力学，甚至是经济学领域，等等。制造飞机、汽车、火车、轮船，以及气象预报，都离不开此方程。
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数学文化教程 附 微积分之歌
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