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1701016690 数学文化教程 [:1701013743]
1701016691 数学文化教程 第十一节 微分搭台,方程唱戏
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1701016693 微积分学一旦形成,就开始独立发展。微分方程和微分几何成为现代数学最重要的学科。本节介绍有关微分方程的一些知识。
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1701016695 (1)最简单的微分方程y′(t)=y (t)
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1701016697 此方程描述了一种变化过程:其变化速度和本身大小相等。这使我们想起函数ex,它的导数就是自己:d (ex )/dx=ex。
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1701016699 所以,ex是微分方程y′(t)=y (t)的一个解。不难论证,cex(其中c是任意的常数)是该方程的全部解。
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1701016701 (2)微分方程y′(t)=ky (t),k是常数
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1701016703 这一方程有着广泛的应用。我们看一些例子(前两个例子是增长过程,k是正数;第三个例子是“衰减”过程,k是负数)。
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1701016705 ● 人口增长。人口底数越大,人口增长越快;因为能生孩子的人多,出生孩子就多。
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1701016707 ● 疾病传染。被流感感染的患病者数量越多,流感的扩散速度就越快。
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1701016709 ● 碳同位素C14,在某生物活体中的比例是固定的。该生物体死亡之后,按照一定的速度衰减,C14越多,衰减越快;C14越少,衰减越慢。按照半衰期计算,可以测知该生物体的考古年龄。
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1701016711 不难求出微分方程y′(t)=ky(t)的通解为y(t)=y(0)ekt。它可以表示每一时刻的人口数、流感患者人数、C14的残留数(由此可以推断出土文物的年代),等等。关键在于比例系数k的确定。
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1701016713 (3)微分方程与当代人类文明
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1701016715 微分和方程的结合产生了无穷的威力。大自然这本书在很大程度上是用微分方程写成的。我们以下列举一些改变了人类文明进程的重要方程。
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1701016717 ● 牛顿运动方程。牛顿在其1687年发表的名著《自然哲学的数学原理》中,首次提出了关于物体运动的三大定律,其中牛顿第二定律可以归结为一个微分方程
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1701016719 F=ma=mv′(t)=ms′′(t),
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1701016721 其中F是作用力,m是物体的质量,a是物体运动的加速度,它等于速度v(t)的一阶导数或距离函数s(t)的二阶导数。这是人类使用微积分工具首次获得的重大科学成果!宇宙奥秘之门从此开启,大至天体运行,小到尘粒飞扬,尽在把握之中。
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1701016723 ● 麦克斯韦电磁学方程。英国数学家、物理学家麦克斯韦(James Clerk Maxwell,1831—1879)总结法拉第等人关于电磁效应的实验成果,于1864年提出了一组偏微分方程。该方程组首次证明,光就是电磁波!从此,电和磁这两个“怪物”被驯服,给人类带来了无数的神奇产品:电灯、电报、电话、收音机、电视机、电动机、手机……
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1701016725 ● 傅里叶热传导方程,描写热传导和其他扩散过程。法国数学家傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier,1768—1830)于1822年提出。该方程无论对于数学还是对于物理学,都具有极其重要意义,是大学数学物理课程中必修的内容。
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1701016727 ● 爱因斯坦广义相对论方程。从某种意义上讲,爱因斯坦(A.Einstein,1879—1955)于1916年提出的这一方程是牛顿运动方程和牛顿万有引力定律的推广。从该方程能推出引力使空间弯曲的论断,而且已被科学观察证实!
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1701016729 ● 杨-米尔斯规范场方程。麦克斯韦电磁方程描述了电磁力的作用。杨振宁和罗伯特·米尔斯(L.Mills)于1954年提出的方程,试图推广麦克斯韦方程,以描述原子核中的强相互作用。如今,杨-米尔斯规范场理论已能统一描述电磁力、强力、弱力,10多位物理学家因此获得诺贝尔奖。此外,为了求解这种非交换规范场方程,需要用到微分几何、李代数、算子代数、拓扑学等大量高深的数学工具,促进了这些数学学科的进一步发展。
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1701016731 ● 薛定谔量子力学基本方程。微观粒子的运动并不遵循牛顿力学,很难把握。然而,奥地利物理学家薛定谔(Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger,1887—1961),却于1926年找到了一个能描述微观粒子运动的偏微分方程,从而奠定了量子力学的理论基础。如今,量子力学和相对论被称为是现代物理学的两大基本支柱。
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1701016733 ● 纳威尔-斯托克斯流体力学方程。它首先由法国工程师和物理学家纳威尔(Claude-Louis Navier,1785—1836)于1821年得到,又被英国数学家和物理学家斯托克斯(George Gabriel Stokes,1819—1903)在1845年重新发现,因而以他们两人的姓命名。该方程的应用领域极其广泛:如用于描述大气层气流运动、海洋中洋流运动、管道气体或液体流动、动物体内血液流动、宇宙星体运动,还可用于磁流体力学,甚至是经济学领域,等等。制造飞机、汽车、火车、轮船,以及气象预报,都离不开此方程。
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1701016739 数学文化教程 附 微积分之歌
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