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微积分基本定理（牛顿—莱布尼茨公F式′（）x）设=f （x）是定义在[a，b]上的函数，形成了一个曲边梯形M；FF′（（xx））是=f （x）的一个原函数，那么曲边梯形的面积π（M）可以表示为
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证明 在[a，b]中插入n-1个分点，使得
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a=x0 ＜x1＜…＜xn-1＜xn =b.
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我们有
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当划分无限细密时，右端取极限就F是′（函x）数=f （x）的定积分定义。证毕。
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微积分基本定理说明，连续函数的定积分计算不必大动干戈，只要寻求它的原函数在两端点函数值之差即可。
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还记得前面求抛物线下曲边梯形的例子吗？那里用分割、作和、级数求和公式，取极限，最后得到结果是1/3。现在看微积分基本定理怎样解决这个问题：
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例1 求x2dx。
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解答 因为x2的一个原函数是。分别用1，0代入，得到
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例2 求cos xdx。
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解 因为sin x的导数是cos x，即sin x是cos x的一个原函数。所以用牛顿-莱布尼茨公式可得
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例3 球体体积。
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在空间直角坐标系中球体的方程是 x2+y2+z2 =r2。沿着x轴正方向切割球体，可以看到球体是由许许多多这样的圆拼成的。这些圆以x轴上的点x为圆心，以 z=为半径，其面积是πz2。可以说，球的体积是这些面积的微元累积而成。因此可用定积分表示。计算如下：
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古代大数学家阿基米德和祖暅曾经花费了九牛二虎之力才求出了球体积；时至今日，这不过是微积分的一道简单的例题而已。
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