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(6)k(lx)=(kl)x;
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3.数量乘法和加法满足：
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(7)(k+l)x=kx+lx;
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(8)k(x+y)=kx+ky.
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其中，x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素。1是F的乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中的元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。
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不难验证：全体一次函数、全体多项式、全体连续函数等，都满足上述的定义。
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7.1.2 向量空间
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力，作为向量，古已有之。但作为向量结构，则是18世纪以后的事情。向量全面进入中国的中学数学课程，已到21世纪了。
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（1）第一代向量：以合力的平行四边形法则为特征。
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力，是向量的最常见的实例。大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合可用平行四边形法则来得到。这是向量的第一代。以后的一千多年中，经过文艺复兴时期，牛顿创立微积分之后的17、18世纪，向量的知识没有什么变化。
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伽利略只不过更清楚地叙述了“平行四边形法则”而已。这点向量知识，尚不能发展成为一门独立的学科。
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（2）第二代向量：有“数乘”运算，可以进行力的分解。
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力既然有合成，则必有分解。力的合成相当于向量的加减。但是，力的分解，只靠加减运算无法完成，必须引进另一个运算：“数乘”。有了“数乘”，向量具有了自己的特定数学结构。
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许多向量计算问题要基于向量分解。因此，通常把向量的分解，叫做“向量的基本定理”。该定理是要回答：在平面上，如果e1，e2不共线，任意向量a能否用e1，e2表示呢？
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事实上，由于e1，e2的大小是固定的，a的大小却可以任意，所以一般做不到a=e1+e2。但是如果e1，e2可以拉长或缩短，那就可以做到了。如图7.1.1，有且只有一对实数λ1，λ2，使a==λ1e1+λ2e2。
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平面上全体向量组成的集合V，如果其上定义了加法和数乘运算，就成为一种新的数学结构，即上述的线性空间。这里的“数”，通常为实数。
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第一代向量只是单独的个体。第二代向量，则不再是孤立地看几个向量的运算，而是形成了一族向量，构成“线性空间”的“社会”，彼此利益相连，有合有分，浑然一体。如果说第一代向量是远古的“原始人”，那么第二代向量就相当于具有社会性质的“文明人”了。
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（3）第三代向量：数量积和向量积的引入。
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更进一步，英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立引进了向量的数量积，终于使向量成为性能优良的数学工具。
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向量几何使用“向量的数量积”，提供了处理复杂几何问题的装备。在解析几何里，两条直线的夹角，当然也可以从两直线方程的系数求得。但在向量几何里，它不过是两直线所在的方向的单位向量的数量积。本来很费事的夹角问题，通过一次向量运算就解决了。接着，三角形的面积也可以用向量的数量积求得。由于面积是平面几何里的“帝王不变量”，许多几何命题迎刃而解。至于利用向量讨论直线与直线的垂直与平行，空间线面、面面之间的位置关系，比起综合方法需要“个别处理”的技巧，更是“一揽子”解决的手段，显得十分轻松。两条直线是否垂直，只需要看相应的两个向量的数量积是否为0，何等简便！向量计算，能够精中求简，“以简驭繁”。由于计算机技术的发展，向量方法的使用，未来还会有更大的空间。向量，因此也应成为中学数学舞台上的一位“主角”。
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▲ 图7.1.1 向量分解成为两个不共线向量的示7意.1图.1
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可以说，引进了数量积的第三代向量，就好像人类社会掌握了高科技，可以呼风唤雨，上天入地。“文明人”进步到“现代人”的程度了。这种拟人化的比方，不妨作为向量发展的基本线索。
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7.1.3 欧氏空间