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我们生活的现实空间是三维的平直空间：各向同性，平直广延，没有弯曲。笛卡儿引进坐标，一点A有三个坐标（a 1 a2 a3）。不过，点是不能计算的。后来将它看做三维向量，就可以做加减、数乘，构成线性空间。进一步引入数量积，就成为三维的欧几里得空间了。
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一般地，由n维向量组成的集合，按照向量的加法和数乘（实数），构成线性空间。如果还定义了两个向量之间有数量积运算，就是一种新的结构，称为n维欧氏空间。
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两个n维向量x=（x1，x2，…，xn）和y=（y1，y2，…，yn）的数量积（x，y）是指如下的数：
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数学文化教程 [:1701013755]
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数学文化教程 第二节 线性空间上的矩阵
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矩阵，简单地说，就是线性空间上的线性函数。它与线性方程组的求解密切相关。
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7.2.1 线性方程组的矩阵表示
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我们以三阶线性方程组为例进行说明。
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现在，把这一方程组的各项系数排成一个3×3方阵，简称为3阶矩阵。
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一般地，可以有m×n的排列，称为m×n矩阵。如3×4的排列为
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如果行数和列数相同，则称为方阵。如上例中的3阶矩阵。为了叙述简单起见，本节只讨论方阵情形。所得结果很容易推广到一般的m×n矩阵。
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初看起来，这一抽象的表示，似乎并无新鲜之处。但是，运用向量的数量积进行考察，就会柳暗花明又一村，使得矩阵表示呈现出特有的绚丽景色。具体方法是：将每行每列看做向量，然后利用向量的数量积，那么三阶线性方程组（1）就可以写成矩阵形式
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其中，矩阵的第一行向量（a11 a12 a13）和列向量为m1，作数量积，其值这正是线性方程组的第一个等式。同样，矩阵的第二行、第三行分别和列向量x的数量积，就是线性方程组的第二个和第三个等式。
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这样一来，矩阵是把向量变为向量，即对每一个三维向量，经过一个三阶矩阵，都有唯一的一个三维向量与之对应。换句话说，三阶方阵是三维向量空间上的一个函数。这样一来，矩阵的价值陡然显现。
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7.2.2 矩阵的代数运算
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如同函数可以实行加减和数乘仍然是函数一样，只要适当地定义n阶矩阵的加法和数乘，n阶矩阵全体可以构成线性空间，也可以定义矩阵的乘法。