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（3）n阶矩阵是n维线性空间上的线性“函数” 在普通实数集合上的线性函数y=kx，具有以下线性性质：如果令y1=kx1，y2=kx2，那么，将自变量x的线性组合m1x1+m2x2代入方程之后，可以得到
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y=k(m1x1+m2x)=m1kx1+m2kx2 =m1y1+m2y2.
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矩阵作为向量空间上的函数，也具有这样的线性特征。例如，当n=3时，若e1，e2是两个三维向量，a1，a2是两个实数，A是三阶矩阵，则根据定义易验证
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A(a1e1+a2e2 )=a1 Ae1+a2 Ae2.
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这个特性和一次函数y=kx的上述性质完全相同。事实上，矩阵和向量之间的运算，都是一次运算，不出现平方之类的高次项，因而会具有某种线性特征。
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（4）矩阵的乘法 设
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则定义AB为矩阵C：其中的元素cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的数量积（i，j=1，2，3）。
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为简便起见，我们以二阶矩阵为例加以说明。
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设，则
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而
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注意：AB≠BA。
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多项式乘法有一个单位元：恒为1的多项式y≡1。意思是任何多项式乘上恒为1的多项式，仍旧是自身。矩阵乘法也有一个单位元，即在对角线上恒为1、其余为0的矩阵。任何矩阵乘上单位矩阵仍旧是自身。
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这样一来，矩阵有了三类运算：加减、数乘、乘法。那么，矩阵可不可以有除法呢？答案是：一般情况下做不到，除非是可逆矩阵。
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（5）逆矩阵
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一个数学结构中有了单位元，就可以谈倒数。事实上，如果AB=I，A和B就互为倒数。B称为A的“逆”，记作A-1；反之亦然。
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以多项式而论，多项式P的倒数1/P一般不是多项式，除非P是恒为常数的多项式y≡c。
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矩阵的情形有所不同，有些矩阵有逆矩阵，有些则没有。例如，有唯一的逆矩阵就不可能有逆矩阵。