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为简便起见,我们以二阶矩阵为例加以说明。
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设,则
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而
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注意:AB≠BA。
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多项式乘法有一个单位元:恒为1的多项式y≡1。意思是任何多项式乘上恒为1的多项式,仍旧是自身。矩阵乘法也有一个单位元,即在对角线上恒为1、其余为0的矩阵。任何矩阵乘上单位矩阵仍旧是自身。
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这样一来,矩阵有了三类运算:加减、数乘、乘法。那么,矩阵可不可以有除法呢?答案是:一般情况下做不到,除非是可逆矩阵。
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(5)逆矩阵
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一个数学结构中有了单位元,就可以谈倒数。事实上,如果AB=I,A和B就互为倒数。B称为A的“逆”,记作A-1;反之亦然。
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以多项式而论,多项式P的倒数1/P一般不是多项式,除非P是恒为常数的多项式y≡c。
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矩阵的情形有所不同,有些矩阵有逆矩阵,有些则没有。例如,有唯一的逆矩阵就不可能有逆矩阵。
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7.2.3 用矩阵解线性方程组
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前已述及,线性方程组(1)用矩阵(以三阶矩阵为例)可以表示为
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简记为Ax=m。如果我们能找到A的逆矩阵A-1使得A-1A=I,那么就有
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A-1 Ax=Ix=A-1m,
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即x=A-1m。方程组就解出来了。为简单起见,下面以二阶方程组为例。
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方程组,写成矩阵形式是Az=。如前所指,A的逆矩阵是。于是,
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