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如果行数和列数相同,则称为方阵。如上例中的3阶矩阵。为了叙述简单起见,本节只讨论方阵情形。所得结果很容易推广到一般的m×n矩阵。
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初看起来,这一抽象的表示,似乎并无新鲜之处。但是,运用向量的数量积进行考察,就会柳暗花明又一村,使得矩阵表示呈现出特有的绚丽景色。具体方法是:将每行每列看做向量,然后利用向量的数量积,那么三阶线性方程组(1)就可以写成矩阵形式
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其中,矩阵的第一行向量(a11 a12 a13)和列向量为m1,作数量积,其值这正是线性方程组的第一个等式。同样,矩阵的第二行、第三行分别和列向量x的数量积,就是线性方程组的第二个和第三个等式。
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这样一来,矩阵是把向量变为向量,即对每一个三维向量,经过一个三阶矩阵,都有唯一的一个三维向量与之对应。换句话说,三阶方阵是三维向量空间上的一个函数。这样一来,矩阵的价值陡然显现。
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7.2.2 矩阵的代数运算
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如同函数可以实行加减和数乘仍然是函数一样,只要适当地定义n阶矩阵的加法和数乘,n阶矩阵全体可以构成线性空间,也可以定义矩阵的乘法。
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(1)矩阵的加法 两个同阶矩阵相加是指对应位置上的数据相加。例如,设
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那么A+B是指矩阵
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(2)矩阵的数乘 实数k乘矩阵A,是指k乘A中每一个元素后,所得到的新矩阵,即
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(3)n阶矩阵是n维线性空间上的线性“函数” 在普通实数集合上的线性函数y=kx,具有以下线性性质:如果令y1=kx1,y2=kx2,那么,将自变量x的线性组合m1x1+m2x2代入方程之后,可以得到
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y=k(m1x1+m2x)=m1kx1+m2kx2 =m1y1+m2y2.
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矩阵作为向量空间上的函数,也具有这样的线性特征。例如,当n=3时,若e1,e2是两个三维向量,a1,a2是两个实数,A是三阶矩阵,则根据定义易验证
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A(a1e1+a2e2 )=a1 Ae1+a2 Ae2.
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这个特性和一次函数y=kx的上述性质完全相同。事实上,矩阵和向量之间的运算,都是一次运算,不出现平方之类的高次项,因而会具有某种线性特征。
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(4)矩阵的乘法 设
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则定义AB为矩阵C:其中的元素cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的数量积(i,j=1,2,3)。
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