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如果行数和列数相同，则称为方阵。如上例中的3阶矩阵。为了叙述简单起见，本节只讨论方阵情形。所得结果很容易推广到一般的m×n矩阵。
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初看起来，这一抽象的表示，似乎并无新鲜之处。但是，运用向量的数量积进行考察，就会柳暗花明又一村，使得矩阵表示呈现出特有的绚丽景色。具体方法是：将每行每列看做向量，然后利用向量的数量积，那么三阶线性方程组（1）就可以写成矩阵形式
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其中，矩阵的第一行向量（a11 a12 a13）和列向量为m1，作数量积，其值这正是线性方程组的第一个等式。同样，矩阵的第二行、第三行分别和列向量x的数量积，就是线性方程组的第二个和第三个等式。
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这样一来，矩阵是把向量变为向量，即对每一个三维向量，经过一个三阶矩阵，都有唯一的一个三维向量与之对应。换句话说，三阶方阵是三维向量空间上的一个函数。这样一来，矩阵的价值陡然显现。
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7.2.2 矩阵的代数运算
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如同函数可以实行加减和数乘仍然是函数一样，只要适当地定义n阶矩阵的加法和数乘，n阶矩阵全体可以构成线性空间，也可以定义矩阵的乘法。
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（1）矩阵的加法 两个同阶矩阵相加是指对应位置上的数据相加。例如，设
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那么A+B是指矩阵
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（2）矩阵的数乘 实数k乘矩阵A，是指k乘A中每一个元素后，所得到的新矩阵，即
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（3）n阶矩阵是n维线性空间上的线性“函数” 在普通实数集合上的线性函数y=kx，具有以下线性性质：如果令y1=kx1，y2=kx2，那么，将自变量x的线性组合m1x1+m2x2代入方程之后，可以得到
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y=k(m1x1+m2x)=m1kx1+m2kx2 =m1y1+m2y2.
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矩阵作为向量空间上的函数，也具有这样的线性特征。例如，当n=3时，若e1，e2是两个三维向量，a1，a2是两个实数，A是三阶矩阵，则根据定义易验证
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A(a1e1+a2e2 )=a1 Ae1+a2 Ae2.
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这个特性和一次函数y=kx的上述性质完全相同。事实上，矩阵和向量之间的运算，都是一次运算，不出现平方之类的高次项，因而会具有某种线性特征。
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（4）矩阵的乘法 设
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则定义AB为矩阵C：其中的元素cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的数量积（i，j=1，2，3）。