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当a=0.8时，只有一个不动点0；此时无论x0怎样选取，所生成的迭代数列{xn}都趋向0，即0是吸引子。
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当a=2.5时，不动点为0和1-1/a；此时生成的{xn}都趋向于1-1/a；即1-1/a是吸引子，而0是排斥子。
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当a=3.2时，情况发生变化（图7.4.2）；不动点依然是0和1-1/a，但生成的迭代序列{xn}不趋于任何不动点，而是逐渐地生成两个周期点，来回跳动。这一性态是出乎人们意外的。
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▲ 图7.4.2 当a=3.2时，迭代序列{xn}不趋于任何不动点，而是在两个周期点之间来回跳动
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进一步研究表明：当a=3.449 489 743时，周期点变为4个；a=3.544 090 359时，周期点有8个；a增加到3.569 616 10时，周期点增为64个；继续增加到a=3.569 945 972时，迭代序列{xn}变得毫无规律，好像随机地出现在[0，1]之内，此时系统处于无规律的混沌状态。
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这些让人眼花缭乱的非线性特征，预示着非线性数学具有变异性和不稳定性。一个完全决定性的二次函数形成的抛物线映射，竟然可以得到随机出现的数值序列！其内在的数学意蕴之深刻，超出了人们的想象。仅此一斑，当知非线性数学的博大精深了。
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数学文化教程 [:1701013758]
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数学文化教程 第五节 分形几何
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如今，在各种出版物的封面和插页里，经常看到用计算机构造出来的美丽图形：分形。经过30多年的发展，分形不仅成为一门严肃的数学分支，被许多数学家深入研究；而且是一门艺术，赢得无数艺术家的青睐。此外，它还是图像压缩、信息传输的工具，甚至可以成为一种上帝创造的指纹，在鉴定特定的地质纪元、矿脉类型及其含量的研究中可以发挥作用。
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7.5.1 维数：从整数到分数
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欧几里得几何、黎曼几何、非欧几何等研究的对象是直线、圆、平面、锥面、球体等，这些都是从客观世界中抽象出来的几何对象。它们分别是一维、二维、三维的几何图形。分形理论创始人是美籍法国数学家曼德勃罗（Benoît B.Mandelbrot，1924—2010，图7.5.1）。他生于波兰华沙一个立陶宛犹太人之家，其父是成衣批发商，母亲是牙科医生；1936年全家移居法国巴黎。他的叔叔索列姆·曼德勃罗（Szolem Mandelbrot 1899—1983），是杰出的纯数学家和复分析专家。在叔叔的影响下，曼德勃罗从小就喜爱数学。他于1947年毕业于著名的巴黎多科理工学校。然后去美国，于1948年即获美国加利福尼亚理工学院硕士学位；1952年获巴黎大学哲学（数学）博士学位。1958年定居美国。
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1973年，曼德勃罗在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（fractal）一词，原意指那些不规则、支离破碎等意义上的图形。事实上，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等，它们的共同的特点是：表面上极不规则或极不光滑，却内涵某种特定的结构。研究物体的分形结构的几何学称为分形几何。
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◀ 图7.5.1 曼德勃罗
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分形几何与传统几何相比有以下两个特点。首先从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。其次，在不同尺度的局部上看，其局部形状又和整体形态相似，即它们从整体到局部，都是自相似的。
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7.5.2 分形的例子
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（1）康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔（G.Cantor）构造了一个“怪异的”集合，其构造过程为：将区间[0，1]等分为三，去掉中间的一段；将左右两段再分别一分为三，去掉各自中间一小段……如此不断地重复下去，其余下部分的极限即为康托尔三分集，如图7.5.2所示。
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粗略地看，康托尔三分集是实数集合[0，1]上非常疏朗的集合，可说千疮百孔，几乎没有剩下多少实数了。但是它还是留下了许多实数。可以想象，这个集合的维数大概比1要小，但还不是0。事实上，它是一个分形。
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康托尔三分集是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写；尤其值得关注的是，用传统的几何学术语很难加以描述。它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是一个简单方程的解集。可以说，它是一种新的几何对象。
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▲ 图7.5.2 康托尔三分集的构造过程
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