1701017740
（2）科赫雪花 瑞典人科赫（Koch）于1904年提出了著名的“雪花”曲线，其作法和康托尔三分集的构造，可说是异曲同工：它从一个正三角形开始，把每条边分成三等份；然后以各边的中间长度为底边，分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边；再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段……反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线有着极不寻常的特性：不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大。曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（没有确定的切线方向）。该曲线长度无限，却包围着有限的面积。如图7.5.3所示。可以想象，科赫曲线密密麻麻地缠绕在一起，其维数大概会大于1，但不到2。
1701017741
1701017742
（3）谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵 将一个正方形等分成9个小正方形，去掉中间一个；对其余8个重复上述过程……即得谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯，如图7.5.4所示。将一个正方体等分成27个小正方体，将不在大正方体棱边上的7个去掉，对余下20个重复上述过程，即得谢尔宾斯基海绵，如图7.5.5所示。
1701017743
1701017744
1701017745
1701017746
1701017747
▲ 图7.5.3 科赫雪花曲线的构造过程
1701017748
1701017749
1701017750
1701017751
1701017752
▲ 图7.5.4 谢尔宾斯基地毯
1701017753
1701017754
1701017755
1701017756
1701017757
▲ 图7.5.5 谢尔宾斯基海绵
1701017758
1701017759
7.5.3 分形的维数
1701017760
1701017761
让我们先来看看几何对象的维数是如何定义的。
1701017762
1701017763
维数与测量有密切关系。测量一个几何图形时要用一个与图形的维数d相一致的“单位”l n（n=d）去测，才会有确定的结果。例如，量体积要用立方体l3为单位，量面积要用正方形l2为单位，量长度要用线段l为单位，等等。如果“单位”的维数n与几何图形的维数d不相等的话，那么n＜d时结果为无穷大，n＞d时结果为零。也就是说，当n≠d时，这个“单位”不能用来测量几何图形。
1701017764
1701017765
事实上，几何与尺度是密切相关的。首先，让我们来观察长度和维数与尺度的关系。下面我们给出自相似维数的定义。
1701017766
1701017767
1701017768
定义 若A∈R n总可以逐级分成N个同样大小的与原集合相似的子集，每次的缩小因子为，则称
1701017769
1701017770
1701017771
1701017772
1701017773
为A的自相似维数。
1701017774
1701017775
1701017776
通俗地说，把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的m分之一，那么这个图形的维数就是。现在我们用这个定义进行一些简单的计算。
1701017777
1701017778
1701017779
（1）康托尔三分集的维数 把[0，1]中的康托尔三分集分成两部分：[0，1/3]，[2/3，1]；其中每一部分是原来的三分之一，所以有N=2，m=3。按照公式计算出来的维数是。
1701017780
1701017781
1701017782
（2）科赫曲线的维数 从构造科赫曲线的方法出发，可以把它分成四个部分，其中每一部分都是原来的三分之一大，所以N=4，m=3，那么科赫曲线的维数就是。
1701017783
1701017784
1701017785
（3）谢尔宾斯基地毯的维数 这一图形的维数是。要注意的是，在这里虽然每一个小正方形的面积是原来的九分之一，但是维数的定义是看“线性”尺度，即限于比较“边长”的缩放程度。我们看到，“边长”只缩小了三分之一，所以m=3。如果我们穿过正方形的中心用一条水平的直线来截这块地毯，就可以发现截出来的“断面”正好是康托尔三分集。
1701017786
1701017787
7.5.4 分形是非线性数学的一部分
1701017788
1701017789
按照自相似性特点研究像科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵那样的分形结构，这只是分形几何的第一步。分形和动力系统结缘，使得分形成为非线性数学的一部分。事实上，有一类分形集就直接来源于复平面上非线性的解析映射的迭代。