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◀ 图7.5.1 曼德勃罗
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分形几何与传统几何相比有以下两个特点。首先从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。其次，在不同尺度的局部上看，其局部形状又和整体形态相似，即它们从整体到局部，都是自相似的。
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7.5.2 分形的例子
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（1）康托尔三分集 1883年，德国数学家康托尔（G.Cantor）构造了一个“怪异的”集合，其构造过程为：将区间[0，1]等分为三，去掉中间的一段；将左右两段再分别一分为三，去掉各自中间一小段……如此不断地重复下去，其余下部分的极限即为康托尔三分集，如图7.5.2所示。
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粗略地看，康托尔三分集是实数集合[0，1]上非常疏朗的集合，可说千疮百孔，几乎没有剩下多少实数了。但是它还是留下了许多实数。可以想象，这个集合的维数大概比1要小，但还不是0。事实上，它是一个分形。
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康托尔三分集是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写；尤其值得关注的是，用传统的几何学术语很难加以描述。它既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是一个简单方程的解集。可以说，它是一种新的几何对象。
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▲ 图7.5.2 康托尔三分集的构造过程
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（2）科赫雪花 瑞典人科赫（Koch）于1904年提出了著名的“雪花”曲线，其作法和康托尔三分集的构造，可说是异曲同工：它从一个正三角形开始，把每条边分成三等份；然后以各边的中间长度为底边，分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边；再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段……反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线有着极不寻常的特性：不但它的周长为无限大，而且曲线上任两点之间的距离也是无限大。曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（没有确定的切线方向）。该曲线长度无限，却包围着有限的面积。如图7.5.3所示。可以想象，科赫曲线密密麻麻地缠绕在一起，其维数大概会大于1，但不到2。
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（3）谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵 将一个正方形等分成9个小正方形，去掉中间一个；对其余8个重复上述过程……即得谢尔宾斯基（Sierpinski）地毯，如图7.5.4所示。将一个正方体等分成27个小正方体，将不在大正方体棱边上的7个去掉，对余下20个重复上述过程，即得谢尔宾斯基海绵，如图7.5.5所示。
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▲ 图7.5.3 科赫雪花曲线的构造过程
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▲ 图7.5.4 谢尔宾斯基地毯
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▲ 图7.5.5 谢尔宾斯基海绵
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7.5.3 分形的维数
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让我们先来看看几何对象的维数是如何定义的。
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维数与测量有密切关系。测量一个几何图形时要用一个与图形的维数d相一致的“单位”l n（n=d）去测，才会有确定的结果。例如，量体积要用立方体l3为单位，量面积要用正方形l2为单位，量长度要用线段l为单位，等等。如果“单位”的维数n与几何图形的维数d不相等的话，那么n＜d时结果为无穷大，n＞d时结果为零。也就是说，当n≠d时，这个“单位”不能用来测量几何图形。
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事实上，几何与尺度是密切相关的。首先，让我们来观察长度和维数与尺度的关系。下面我们给出自相似维数的定义。
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定义 若A∈R n总可以逐级分成N个同样大小的与原集合相似的子集，每次的缩小因子为，则称
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