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为A的自相似维数。
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通俗地说，把分形图形分成N个相等的部分，每一部分在线性尺度上都是原来图形的m分之一，那么这个图形的维数就是。现在我们用这个定义进行一些简单的计算。
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（1）康托尔三分集的维数 把[0，1]中的康托尔三分集分成两部分：[0，1/3]，[2/3，1]；其中每一部分是原来的三分之一，所以有N=2，m=3。按照公式计算出来的维数是。
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（2）科赫曲线的维数 从构造科赫曲线的方法出发，可以把它分成四个部分，其中每一部分都是原来的三分之一大，所以N=4，m=3，那么科赫曲线的维数就是。
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（3）谢尔宾斯基地毯的维数 这一图形的维数是。要注意的是，在这里虽然每一个小正方形的面积是原来的九分之一，但是维数的定义是看“线性”尺度，即限于比较“边长”的缩放程度。我们看到，“边长”只缩小了三分之一，所以m=3。如果我们穿过正方形的中心用一条水平的直线来截这块地毯，就可以发现截出来的“断面”正好是康托尔三分集。
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7.5.4 分形是非线性数学的一部分
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按照自相似性特点研究像科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵那样的分形结构，这只是分形几何的第一步。分形和动力系统结缘，使得分形成为非线性数学的一部分。事实上，有一类分形集就直接来源于复平面上非线性的解析映射的迭代。
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早在1918—1919年，法图（Pierre Joseph Louis Fatou，1878—1929）和茹利亚（Gaston Maurice Julia，1893—1978）发现，通过一个非线性映射的迭代，可以把复平面划分成两部分，一部分后被称为法图集，另一部分被称为茹利亚集（J集）。他们在没有电子计算机帮助的情况下，凭借深邃的洞察力，察觉出许多迭代复数列的行为。随后的50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着电子计算机的出现，这一研究课题重获生机。
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1980年，曼德勃罗用计算机绘出用他名字命名的曼德勃罗集（M集）的第一张图来。曼德勃罗集可以用以下的复二次多项式生成：
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fc (z)=z2+c,
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其中c是一个复参数。对于每一个c，从z=0开始用fc（z）进行迭代。得到复数数列（0，fc （0），fc （fc （0）），fc （fc （fc （0））），…）。这个数列或者发散到无限大，或者是有界的数列。所谓曼德勃罗集，就是使以上序列为有界数列的那些复数c所成的集合。这些c点的集合在图7.5.6中就是黑色的部分。
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值得注意的是：这个集合的边缘有着非常美丽的自相似性。图7.5.7是边缘部分的7级放大情形。无穷的魅力使得人们将曼德勃罗集称为数学恐龙。
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现在从另外的角度考虑迭代：让常数c固定；迭代的初值z0不再是0，而可以是任意的复数。这时，由初值z0迭代之后形成的复数列，如果是稳定的，即正则收敛的，则称z0属于法图集；否则，即由z0生成的数列是混沌的，就说z0属于茹利亚集。这样，对于上述的二次迭代来说，当c给定之后，就把复平面分成两部分：法都集和茹利亚集。
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▲ 图7.5.6 曼德勃罗集
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▲ 图7.5.7 曼德勃罗集及其七级放大区域图
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现在，再来谈曼德勃罗集与茹利亚集之间的关系。如果常数c取自曼德勃罗集，那么与c相应的茹利亚集是连通的。反之亦然。因此，它们之间的关系可以比作书和页：曼德勃罗集是一本巨大的书，而一个茹利亚集只是其中的一页。根据点c是否在曼德勃罗集之内部，就能够预测相应的茹利亚集的外形及大小。曼德勃罗集是一本可以查阅所有茹利亚集的词典。茹利亚集有自相似性质，而曼德勃罗集没有这种性质。
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图7.5.8和图7.5.9为两个例子。由此可见，一个复数域上的二次函数就能形成如此复杂的图像，分形几何乃至整个非线性世界将会是怎样的丰富多彩，复杂多变，我们也就可以想象一二了。
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