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▲ 图7.5.8 常数c=1-a（a是黄金比）时，二次迭代产生的茹利亚集
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▲ 图7.5.9 c=-0.123+0.745i时，生成的茹利亚集称为Douady的兔子分形
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[1] 函数f （x）的不动点p，是指自变量x=p时，函数值也等于p，即f （p）=p。
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数学文化教程 [:1701013759]
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数学文化教程 第八章 数学应用例谈
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20世纪下半叶以来，数学应用大量涌现，有的已经发展为新的数学分支。我们不能正面介绍诸多的数学内涵，但可以举例说明其内在价值。
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数学文化教程 [:1701013760]
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数学文化教程 第一节 数学与民主投票
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投票是民主政治的表现之一，可是很少有人知道数学和投票有非常密切的联系。候选名额的分配、选举者选票的投法、判断当选的规定、党派联合的多数组成等，一系列的问题都涉及数据的处理。因此，必要的数学知识已成为民主意识的组成部分。
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1.不同的选举方案
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民主选举的最基本的原则是“少数服从多数”，即获得最多选票的人（或计划、行动等）当选。不过，投票的程序可以有很多种。假定候选人是5名，只有1人当选，常见的方案有
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A 简单多数票。
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B 若无人过半数，则在两位获票最多的候选人之间增加一场决定性竞选。
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C 选举人可以对5名候选人中的一名投赞成票（+1）、另一位不喜欢的人投反对票（-1），最后以得票的代数和最高者当选（支持票数减去反对票数）。
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D 赞成选举法：可以对5名候选人中喜欢者都投票，即选举者可以投1至5票，最高得票的一人当选。
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E 排序方案：选举人可以将5名候选人排队，即对5人中最满意的投5票，其次的投4票，再次的投3票，排第四位的只投2票，最不满意的投1票，不得弃权。
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让我们来评论这五种方案：方案A最简单易行，缺点是当选者的得票数可能未过半；也就是说，未必能代表大多数选民的意愿。方案B较A为好，保证最后的当选者得票数过半；但是要选两次，比较麻烦。方案C允许投反对票，可以让选举人充分表达意愿；但可能让缺点和优点都不突出的“中间人物”当选。方案D的赞成投票法，能够充分表达选民的倾向，使得当选者能够获得较多的选民拥护，不会出现同一纲领的多名候选人选票分散的情形；缺点是实行比较困难，因为选举人有5票投票权，如何分配给这5个人有多种选择。没有投票经验的人往往会乱投一气，反而失去真实。方案E可能出现非常复杂的情况：人们共有5！=120种不同的选择，容易失控。
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例 假设某团体打算出外旅游，有三种选择：西湖、太湖、泰山。请21位成员投票决定。可能有以下情况出现：
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（1）按方案A，以简单多数确定；此时的票数为：西湖5票、太湖6票、泰山10票；结果泰山中选。
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（2）按方案B，令太湖和泰山对决；结果支持西湖的选票全部转向太湖，共11票，超过泰山的10票；于是太湖中选。
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（3）按方案C，大家对去西湖不反对；在赞成去西湖的5个人中，有1人反对去泰山；但想去太湖的6人非常不愿意爬山；而在愿意去泰山的10人中，有7人反对去太湖。结果是
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西湖 5-0=5；太湖 6-7=-1；泰山 10-6-1=3票。