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马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。这对于投资者的决策来说自然有很重要的参考价值。
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马科维茨理论是一种纯技术性的证券组合选择理论。这一理论是他在芝加哥大学作的博士论文中提出的。但在论文答辩时，它被一位当时已享有盛名、后以货币主义而获1976年诺贝尔经济学奖的弗里德曼（M.Friedman，1912—）斥之为“这不是经济学！”为此，马科维茨不得不引入以收益和风险为自变量的效用函数，来使他的理论纳入通常的一般经济均衡框架。
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马科维茨的学生夏普（W.Sharpe，1934—）和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以这种效用函数来决策，从而导出全市场的证券组合收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型（capital asset pricing model，简称CAPM）。夏普因此与马科维茨一起荣获1990年诺贝尔经济学奖。另一位1981年诺贝尔经济学奖获得者托宾（L.Tobin，1918—）在对于允许卖空的证券组合选择问题的研究中，导出每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合（它称为二基金分离定理），从而得出一些宏观经济方面的结论。
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在1990年与马科维茨、夏普一起分享诺贝尔奖的另一位经济学家是新近刚去世的米勒。他与另一位在1985年获得诺贝尔奖的莫迪利阿尼（F.Modigliani，1918—）一起在1958年以后发表了一系列论文，探讨“公司的财务政策（分红、债权/股权比等）是否会影响公司的价值”这一主题。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。这些结论后来就被称为莫迪利阿尼-米勒定理。他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。
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所谓无套利假设，是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会（即确定的低买高卖之类的机会）。因此，如果两个公司将来的（不确定的）价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。达到一般经济均衡的金融市场显然一定满足无套利假设。这样，莫迪利阿尼-米勒定理与一般经济均衡框架是相容的。
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但是，直接从无套利假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。这就给人以启发，不必非要背上沉重的一般经济均衡的十字架不可，从无套利假设出发就已可为金融产品的定价得到许多结果。从此，金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。
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以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克-肖尔斯期权定价理论。所谓（股票买人）期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种股票的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权规定的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。现在要问：期权在其被执行前应该怎样用股票价格来定价？
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为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，也是证券价值的计量基准，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻画，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是，这一方程居然还有显式解。于是布莱克-肖尔斯期权定价公式就这样问世了。
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与马科维茨的遭遇类似，布莱克—肖尔斯公式的发表也困难重重地经过好几年。与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式，对于习惯于用一般经济均衡框架对商品定价的经济学家来说很难接受。这样，布莱克和肖尔斯不得不直接到市场中去验证他们的公式。结果令人非常满意。有关期权定价实证研究结果先在1972年发表，然后再是理论分析于1973年正式发表。与此几乎同时的是芝加哥期权交易所也在1973年正式推出16种股票期权的挂牌交易（在此之前期权只有场外交易），使得衍生证券市场从此蓬蓬勃勃地发展起来。布莱克-肖尔斯公式也因此有数不清的机会得到充分验证，而使它成为人类有史以来应用最频繁的一个数学公式。
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布莱克-肖尔斯公式的成功与默顿的研究是分不开的，后者甚至在把他们的理论深化和系统化上作出更大的贡献；默顿的研究后来被总结在1990年出版的《连续时间金融学》一书中。对金融问题建立连续时间模型也在近30年中成为金融学的核心。这如同连续变量的微分学在瓦尔拉斯时代进入经济学那样，尽管现实的经济变量极少是连续的，微分学能强有力地处理经济学中的最大效用问题；而连续变量的金融模型，同样使强有力的随机分析更深刻地揭示金融问题的随机性。
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不过，用连续时间模型来处理金融问题并非从布莱克-肖尔斯-默顿理论开始。1950年代，萨缪尔森就已发现，一位几乎被人遗忘的法国数学家巴施里叶（Louis Bachelier，1870—1946）早在1900年已在其博士论文《投机理论》中用布朗运动来刻画股票的价格变化，并且这是历史上第一次给出的布朗运动的数学定义，比人们熟知的爱因斯坦1905年的有关布朗运动的研究还要早。
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尤其是，巴施里叶实质上已开始研究期权定价理论，而布莱克-肖尔斯-默顿的工作其实都是在萨缪尔森的影响下，延续了巴施里叶的工作。这样一来，数理金融学的“祖师爷”就成了巴施里叶。对此，法国人感到很自豪，最近他们专门成立了国际性的“巴施里叶协会”。2000年6月，协会在巴黎召开第一届盛大的国际“巴施里叶会议”，以纪念巴施里叶的论文问世100周年。
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数学文化教程 第六节 微分几何与规范场：陈省身和杨振宁的科学会师
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数学的应用，有时完全意想不到。
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陈省身于1940年代内蕴地证明“高斯-邦内”公式，从而开创了整体微分几何的时候，完全没有想到会在杨振宁的物理学中得到应用。杨振宁和米尔斯在1954年发表研究非交换的规范场论文，他们当时还完全不懂整体微分几何。但是到了1970年代，两位20世纪的科学大师，实现了影响深远的科学会师。
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1975年，杨振宁在纽约州立大学（石溪）向微分几何学家西蒙斯学习微分几何，明白了规范场和微分几何之间的关系。于是，立即驱车前往陈省身在伯克利附近的“小山”寓所，激动地告诉陈省身：“物理学的规范场正好是纤维丛上的联络（connection），我们从事的研究乃是‘一头大象的不同部分’。”由于陈省身的纤维丛理论是在不涉及物理世界的情况下发展起来的。杨振宁说：“这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家能够凭空地梦想出这些概念。”陈省身马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。”[3]
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物理几何是一家。这就是陈省身和杨振宁“科学会师”的故事。
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在20世纪下半叶的世界科学史上，华人科学家开始作出自己的贡献。陈省身和杨振宁的上述工作无疑属于其中最重要的部分之一。它处于数理科学的核心地位和主流方向，其影响不仅限于20世纪，已经并会长远地延续在21世纪。
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自然界的奥秘，隐藏在人类已有认识之外。科学的原始问题，恰如地质学家在茫茫沙漠中找石油，考古学家在广袤大地上寻找古代文化遗存，抑或比喻为探索黑暗中的一头大象，事先不知道它的存在，更无法看见它的全貌。陈省身和杨振宁的原始工作，正是从数学和物理学两个方向接近这头“非交换规范场”的大象，作出了历史性的科学贡献。
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两篇开创性的论文都不长。陈省身在1944年发表的《闭黎曼流形高斯-邦内公式的一个简单的内蕴证明》[4]，全文不到6页。杨振宁和米尔斯关于《同位旋守恒以及同位旋规范不变性》的论文，也只有5页[5]。他们的成功，并非在当时就建立了系统的理论和完美的框架，而是以“深邃的洞察力”和“科学睿智”，看到了原始问题的所在。好比将密室打开了一扇门。当人们后来用火把照明时，才慢慢地看到那是一座科学宝库，深邃而广大。
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陈省身做出上述工作的时候，微分几何学是一个冷门，甚至有人认为：“微分几何已经死了”。在研究微分几何的少数人中，大家都受斯廷罗德的影响，坚持用“上闭链”。陈省身回忆说：“用微分式比上闭链方法要容易多了。然而那不是时尚。大家做的东西，我不做。研究贵独创，不要跟着人走”[6]。
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杨振宁和米尔斯在1954年发表的这篇论文，当时也没有怎样引人注意。到了20世纪60年代才被觉察其重要性。真正显示在物理学和数学上的重要性，要等到20世纪70年代。所以在某种意义上，同位旋的规范不变性研究，在1954年时，也是冷门。杨振宁在谈到成功的原因时说：“除了机遇和环境因素之外，似乎有两个原因是主要的。一个是：面对物理学中的原始问题，不要淹没在文献的海洋里。另一个是，物理学研究不要排斥数学，要成功地运用数学”[7]。
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科学原创的起点，正是要面对原始问题。陈省身面对的是如何将普通二维曲面的微分几何推广到高维的流形，找出流形上纤维丛的拓扑不变量，其影响遍及整个数学。杨振宁处理的则是将大物理学家处理过的交换的规范场理论（用U（1）群），推广到非交换的情形（U（2）群），成为物理学和数学研究上的重要里程碑，具有超越世纪的影响力。世界上的科学问题不计其数，在茫茫的科学海洋中寻求有价值的原始问题，需要机遇，更需要一种眼光、一种抱负。
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