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没有正整数解。这就是曾经作为数学发展强力助推剂的“费马大定理”。所以称之为“大定理”，是因为还有一个著名的“费马小定理”，是关于素数性质的重要断言。“费马大定理”西方数学家称之为“费马最后定理”。因为费马曾经有过许多关于整数性质的断言，后来几乎都得到了证明，只剩下这最后一个。
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2.费马的“证明”，只能算猜想
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费马究竟有没有证明了他的“大定理”？没有直接肯定或否定的证据。因为那个时代的数学家大都不主动公布自己的研究成果。而是通过写信，向同行数学家发起解题的挑战，并享受解题战胜对手的乐趣。不过，现在人们倾向于认为，费马其实并没有真正证明他的定理，因为他不可能掌握那一大堆令人眼花缭乱的抽象数学武器，这些武器都是后代数学英杰为攻克这一难题而专门打造的。
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费马曾经写信挑战同行，要求他们证明n=3，4时他的“大定理”成立。当然，没有人能够应战。费马本人则在丢番图《算术》书上的另一空白处，写下了n=4时的证明。费马以后的二百多年里，数学家们试图找到对更多n的证明，但进展极其缓慢。
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18世纪最伟大的数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）只给出了n=3时的证明。
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19世纪最伟大的数学家高斯也曾经研究过费马大定理，因得不到结果而放弃。后来他说：“我对于费马定理毫无兴趣，因为这只是一个孤立的命题，我可以很容易地找到一大堆这样的命题，它们既不能证明又不能反证。”数学中确实存在许多如高斯所说的“孤立命题”；比如说，“在圆周率π的十进制数表达中，出现了无限次形如‘0123456789’的数列”就是这样的命题。研究这类命题对于数学的发展并没有什么作用。但是，以后的事实表明，费马大定理的情况完全不是这样的。
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所以，当20世纪最伟大的数学家希尔伯特被劝说去解决费马大定理时，他说他不愿意杀死这只会下金蛋的鹅。
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费马大定理生下了怎样的金蛋？
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3.费马猜想的简单表述引发艰深的“理想”理论
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德国数学家库默（Ernst Kummer，1810—1893）迈出了证明费马大定理的关键一步。
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我们知道整数有一条基本性质，即任何整数都能够唯一地分解成不同素数幂的乘积。如20=22×5，360=23×32×5，等等。素数就是那些只能被自己和1整除的正整数。
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库默首先试图扩大了整数环（记为）的范围，把n次单位根（即方程xn-1=0的解，记做ξn）也包括了进去。于是，在扩大的整数环（记为）中，（1）式就有如此的因式分解（可以假设n是奇素数），
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这样，如果依然保持唯一分解的性质，那么费马大定理就能很容易地证
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明。但遗憾的是，库默很快发现，这种整数环一般不具有唯一分解性质。
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库默进而把素数分为两类：正则的和非正则的，并证明了正则素数时的费马大定理。这样就一下子得到：除了个别情况，费马大定理当n≤100时成立。
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库默的“理想”理论堪称是19世纪最重要的代数学成就之一。在其基础上，又诞生了分圆域论、代数数论、类域论等一系列20世纪代数学热门分支，这些都属于费马大定理所产下的金蛋。
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4.引导纯粹数学进步的一座“金矿”
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又过了一百多年，虽然不时有所进展或突破，但是费马大定理依然没有被完全攻克。数学家开始寻找新的武器，他们把眼光对准了“代数几何”，这是在20世纪下半叶最具活力的纯粹数学新领域。迄今为止，在有“数学诺贝尔奖”之称的“菲尔兹奖章”获得者的全部40余人名单中，代数几何学家占据了10多位。
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简单地讲，代数几何研究代数方程的图形性质。一次代数方程的图形是直线或平面，二次方程的图形是圆、椭圆、双曲线（面）或抛物线（面），这些知识连高中生都知道。代数几何主要研究三次及以上的代数方程，其中一个最简单的研究对象就是形如
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y2 =Ax3+Bx2+Cx+D
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的方程，称作“椭圆曲线”。叫此名字是因为它能够被一个“椭圆函数”参数化。“椭圆函数”来源于求椭圆的周长，它是三角函数的推广。
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1984年，德国数学家弗雷（Gerhard Frey，1944—）把费马大定理与椭圆曲线联系起来。他假设“大定理”不成立，即存在n＞2和正整数a，b，c使得an+bn =cn。则可以定义一条有理数域上的椭圆曲线
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