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所以，当20世纪最伟大的数学家希尔伯特被劝说去解决费马大定理时，他说他不愿意杀死这只会下金蛋的鹅。
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费马大定理生下了怎样的金蛋？
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3.费马猜想的简单表述引发艰深的“理想”理论
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德国数学家库默（Ernst Kummer，1810—1893）迈出了证明费马大定理的关键一步。
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我们知道整数有一条基本性质，即任何整数都能够唯一地分解成不同素数幂的乘积。如20=22×5，360=23×32×5，等等。素数就是那些只能被自己和1整除的正整数。
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库默首先试图扩大了整数环（记为）的范围，把n次单位根（即方程xn-1=0的解，记做ξn）也包括了进去。于是，在扩大的整数环（记为）中，（1）式就有如此的因式分解（可以假设n是奇素数），
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这样，如果依然保持唯一分解的性质，那么费马大定理就能很容易地证
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明。但遗憾的是，库默很快发现，这种整数环一般不具有唯一分解性质。
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库默进而把素数分为两类：正则的和非正则的，并证明了正则素数时的费马大定理。这样就一下子得到：除了个别情况，费马大定理当n≤100时成立。
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库默的“理想”理论堪称是19世纪最重要的代数学成就之一。在其基础上，又诞生了分圆域论、代数数论、类域论等一系列20世纪代数学热门分支，这些都属于费马大定理所产下的金蛋。
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4.引导纯粹数学进步的一座“金矿”
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又过了一百多年，虽然不时有所进展或突破，但是费马大定理依然没有被完全攻克。数学家开始寻找新的武器，他们把眼光对准了“代数几何”，这是在20世纪下半叶最具活力的纯粹数学新领域。迄今为止，在有“数学诺贝尔奖”之称的“菲尔兹奖章”获得者的全部40余人名单中，代数几何学家占据了10多位。
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简单地讲，代数几何研究代数方程的图形性质。一次代数方程的图形是直线或平面，二次方程的图形是圆、椭圆、双曲线（面）或抛物线（面），这些知识连高中生都知道。代数几何主要研究三次及以上的代数方程，其中一个最简单的研究对象就是形如
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y2 =Ax3+Bx2+Cx+D
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的方程，称作“椭圆曲线”。叫此名字是因为它能够被一个“椭圆函数”参数化。“椭圆函数”来源于求椭圆的周长，它是三角函数的推广。
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1984年，德国数学家弗雷（Gerhard Frey，1944—）把费马大定理与椭圆曲线联系起来。他假设“大定理”不成立，即存在n＞2和正整数a，b，c使得an+bn =cn。则可以定义一条有理数域上的椭圆曲线
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y2 =x(x-an )(x-bn ) (3)
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他猜测这个椭圆曲线具有一些奇怪的性质，因而可能不存在。两年后，美国数学家里贝特（Kenneth Ribet）证实了弗雷的猜测。他证明，椭圆曲线（3）的L-函数并不对应于任何“模形式”。而这一结论与一个著名的代数几何猜想矛盾。
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5.日本数学家的一个突破
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年轻的代数几何学家谷山丰（Taniyama Yutaka，1927—1958）是东京大学的教师，他有点懒散、心不在焉，却具有非凡的数学才华。他与志村五郎（Shimura Goro，1930—）合作创立了“阿贝尔簇复乘法理论”。1955年，在东京召开的一次代数数论研讨会上，谷山又提出了“有理数域上每一条椭圆曲线都是模函数域上一个雅可比因子”等猜想。它们后来经志村五郎和维伊的完善，形成了谷山-志村-维伊猜想。
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谷山-志村-维伊猜想 有理数域上椭圆曲线的L-函数都对应于一个“模形式”。这里的“对应”，是指L-函数的展开式与“模形式”的傅里叶级数展开式有着相同的系数项。
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于是，只要能够证明谷山-志村-维伊猜想，说明（3）式的椭圆曲线不存在，就证明了费马大定理。
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