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明。但遗憾的是，库默很快发现，这种整数环一般不具有唯一分解性质。
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库默进而把素数分为两类：正则的和非正则的，并证明了正则素数时的费马大定理。这样就一下子得到：除了个别情况，费马大定理当n≤100时成立。
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库默的“理想”理论堪称是19世纪最重要的代数学成就之一。在其基础上，又诞生了分圆域论、代数数论、类域论等一系列20世纪代数学热门分支，这些都属于费马大定理所产下的金蛋。
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4.引导纯粹数学进步的一座“金矿”
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又过了一百多年，虽然不时有所进展或突破，但是费马大定理依然没有被完全攻克。数学家开始寻找新的武器，他们把眼光对准了“代数几何”，这是在20世纪下半叶最具活力的纯粹数学新领域。迄今为止，在有“数学诺贝尔奖”之称的“菲尔兹奖章”获得者的全部40余人名单中，代数几何学家占据了10多位。
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简单地讲，代数几何研究代数方程的图形性质。一次代数方程的图形是直线或平面，二次方程的图形是圆、椭圆、双曲线（面）或抛物线（面），这些知识连高中生都知道。代数几何主要研究三次及以上的代数方程，其中一个最简单的研究对象就是形如
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y2 =Ax3+Bx2+Cx+D
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的方程，称作“椭圆曲线”。叫此名字是因为它能够被一个“椭圆函数”参数化。“椭圆函数”来源于求椭圆的周长，它是三角函数的推广。
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1984年，德国数学家弗雷（Gerhard Frey，1944—）把费马大定理与椭圆曲线联系起来。他假设“大定理”不成立，即存在n＞2和正整数a，b，c使得an+bn =cn。则可以定义一条有理数域上的椭圆曲线
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y2 =x(x-an )(x-bn ) (3)
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他猜测这个椭圆曲线具有一些奇怪的性质，因而可能不存在。两年后，美国数学家里贝特（Kenneth Ribet）证实了弗雷的猜测。他证明，椭圆曲线（3）的L-函数并不对应于任何“模形式”。而这一结论与一个著名的代数几何猜想矛盾。
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5.日本数学家的一个突破
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年轻的代数几何学家谷山丰（Taniyama Yutaka，1927—1958）是东京大学的教师，他有点懒散、心不在焉，却具有非凡的数学才华。他与志村五郎（Shimura Goro，1930—）合作创立了“阿贝尔簇复乘法理论”。1955年，在东京召开的一次代数数论研讨会上，谷山又提出了“有理数域上每一条椭圆曲线都是模函数域上一个雅可比因子”等猜想。它们后来经志村五郎和维伊的完善，形成了谷山-志村-维伊猜想。
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谷山-志村-维伊猜想 有理数域上椭圆曲线的L-函数都对应于一个“模形式”。这里的“对应”，是指L-函数的展开式与“模形式”的傅里叶级数展开式有着相同的系数项。
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于是，只要能够证明谷山-志村-维伊猜想，说明（3）式的椭圆曲线不存在，就证明了费马大定理。
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持续了350多年的“围剿”费马大定理的战争，进入到最后的攻坚阶段。
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1958年11月17日，这位生活美满且前程远大的年轻数学家突然自杀。
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6.最后的冲击
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英国人怀尔斯（Andrew Wiles，1953—）在10岁时就已经知道了费马大定理，并且梦想能够证明它，这使他后来选择了数学家的职业。怀尔斯于1980年获得剑桥大学博士学位，后来到美国普林斯顿大学教数学。在以后几年里，怀尔斯获得一些重要的研究成果，因而赢得了世界一流代数数论和代数几何专家的声誉。但他所做的这些研究，只是在为冲击费马大定理而锻造武器和练习身手。1986年，怀尔斯获悉了弗雷和里贝特的工作，他敏锐地感觉到，攻克费马大定理的最佳时机已来到，自己决不能错过这一机会。他于是马上全力以赴投入了谷山-志村-维伊猜想的证明中。为了避免干扰，除了新婚不久的妻子，他没有告诉任何人他正在做什么。
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从表面上看，证明谷山-志村-维伊猜想的难度一点不亚于直接证明费马大定理：它几乎令人无从下手，所以30多年来没有人想到要去证明它。凭借学识和经验，怀尔斯决定从比较椭圆曲线和模形式两者的“伽罗瓦群表示”着手。实践证明，这是一条正确的道路。
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这样，整整过了7年，怀尔斯终于证明了特殊条件下的谷山-志村-维伊猜想，重要的是，这个特殊条件包含了费马大定理。
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1993年6月，在英国剑桥大学牛顿研究所举行了主题为“椭圆曲线、模形式与伽罗瓦表示”的系列学术讲座。在讲座的最后一天，怀尔斯面对一群数学家平静地宣布，“我已经证明了费马大定理”。随即在听众中爆发出热烈的掌声。这一重大新闻很快传遍了全世界。
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然而，现实往往并不那么具有戏剧性。不久发现，怀尔斯的证明中还隐藏着一个不大不小的漏洞。他立即着手修补，但一年很快过去，没有什么进展。怀尔斯有点泄气，想打退堂鼓了。眼看他也要加入“倒霉的费马大定理证明失败者”的庞大队伍中。
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在助手的激励下，怀尔斯决定作最后一次尝试。1994年9月19日，他突然有灵感：想出了一个绕过漏洞，补全证明的绝妙方法。这一次，他真的成功了。现代数学史上最古老的一个难题，终于被完全破解！很快，他的10 0多页长的论文被几位国际权威专家审查通过，在一国际顶级的数学杂志上正式发表。
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怀尔斯在接受媒体采访时坦陈，在经过长达八年夜以继日的艰苦工作而取得成功之后，他有着巨大的成就感和精神自由感；同时感到有点忧伤和悲哀：我们从此失去了那件东西，它曾经长期伴随着我们，是我们儿时的梦想，并把我们带进了数学。
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