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而从算术的角度讲，勾股定理的不平凡性在于，它存在无穷多个正整数解。“勾三股四弦五”是其最简单的整数解；其通解是
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◀ 图9.1.1 三国时吴人赵爽在《周髀算经》注中，用“弦图”证明勾股定理
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a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是满足m＞n的任意正整数。
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满足勾股定理整数解的三元数组（a，b，c）被称为“勾股数”。
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17世纪的法国数学家费马（Pierre de Fermat，1601—1665）在研读古希腊人丢番图的《算术》著作时，看到其中有这样一个关于勾股数的问题：给定一个整平方数，如何把它写成另两个整平方数之和？他于是在书的旁边空白处用拉丁文写道：
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在另一方面，不可能把一个立方整数写成两个立方整数之和，或把一个四次方整数写成两个四次方整数之和；一般来讲，任何一个幂次大于2的幂整数都不能写成两个同次幂整数之和。我发现了一个真正奇妙的证明，但空白处太小，写不下。
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用代数的语言，费马是在说：
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xn+yn =zn (n＞2) (1)
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没有正整数解。这就是曾经作为数学发展强力助推剂的“费马大定理”。所以称之为“大定理”，是因为还有一个著名的“费马小定理”，是关于素数性质的重要断言。“费马大定理”西方数学家称之为“费马最后定理”。因为费马曾经有过许多关于整数性质的断言，后来几乎都得到了证明，只剩下这最后一个。
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2.费马的“证明”，只能算猜想
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费马究竟有没有证明了他的“大定理”？没有直接肯定或否定的证据。因为那个时代的数学家大都不主动公布自己的研究成果。而是通过写信，向同行数学家发起解题的挑战，并享受解题战胜对手的乐趣。不过，现在人们倾向于认为，费马其实并没有真正证明他的定理，因为他不可能掌握那一大堆令人眼花缭乱的抽象数学武器，这些武器都是后代数学英杰为攻克这一难题而专门打造的。
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费马曾经写信挑战同行，要求他们证明n=3，4时他的“大定理”成立。当然，没有人能够应战。费马本人则在丢番图《算术》书上的另一空白处，写下了n=4时的证明。费马以后的二百多年里，数学家们试图找到对更多n的证明，但进展极其缓慢。
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18世纪最伟大的数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）只给出了n=3时的证明。
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19世纪最伟大的数学家高斯也曾经研究过费马大定理，因得不到结果而放弃。后来他说：“我对于费马定理毫无兴趣，因为这只是一个孤立的命题，我可以很容易地找到一大堆这样的命题，它们既不能证明又不能反证。”数学中确实存在许多如高斯所说的“孤立命题”；比如说，“在圆周率π的十进制数表达中，出现了无限次形如‘0123456789’的数列”就是这样的命题。研究这类命题对于数学的发展并没有什么作用。但是，以后的事实表明，费马大定理的情况完全不是这样的。
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所以，当20世纪最伟大的数学家希尔伯特被劝说去解决费马大定理时，他说他不愿意杀死这只会下金蛋的鹅。
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费马大定理生下了怎样的金蛋？
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3.费马猜想的简单表述引发艰深的“理想”理论
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德国数学家库默（Ernst Kummer，1810—1893）迈出了证明费马大定理的关键一步。
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我们知道整数有一条基本性质，即任何整数都能够唯一地分解成不同素数幂的乘积。如20=22×5，360=23×32×5，等等。素数就是那些只能被自己和1整除的正整数。
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库默首先试图扩大了整数环（记为）的范围，把n次单位根（即方程xn-1=0的解，记做ξn）也包括了进去。于是，在扩大的整数环（记为）中，（1）式就有如此的因式分解（可以假设n是奇素数），
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这样，如果依然保持唯一分解的性质，那么费马大定理就能很容易地证
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