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1960年，美国数学家斯梅尔（Stephen Smale，1930—）一下子证明了五维及以上维数图形的广义庞加莱猜想，他因此获得了1966年菲尔兹奖章。
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1982年，当时还只是一名研究生的英国数学家唐纳德森（Simon K.Donaldson，1957—），利用物理学的杨-米尔斯方程，发现了四维空间能够具有不同于欧几里得空间的微分结构。同年，美国数学家弗里德曼（Michael H.Freedman，1951—）利用唐纳德森的结果，证明了四维图形的庞加莱猜想。唐纳德森与弗里德曼因此同获1986年菲尔兹奖章。
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于是，只有三维图形的（即原始的）庞加莱猜想尚未被证明。因为这种维数的情况最为复杂，（想一想现实的三维世界是多么丰富多彩！）使得图形的拓扑分类变得极其困难。当然，并非没有任何进展，只是路途还很漫长。
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美国几何学家瑟斯顿（William P.Thurston，1946—）对于三维图形具有超强的直观能力。1978年，他提出了“所有的三维空间（即几何图形）都可以由8种基本空间合成”的断言，被称为“瑟斯顿几何化猜想”。这8种基本空间包括三维欧氏空间、三维球面、三维双曲型非欧空间以及另外5种有点怪异的黎曼空间。由此可看出，瑟斯顿的断言蕴含了庞加莱猜想。以后的发展表明，瑟斯顿指示了攻克庞加莱猜想的一个正确方向。1982年，瑟斯顿因其在三维流形研究中开创性的工作而荣获菲尔兹奖章。
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▲ 图9.2.1
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3.“几何分析”方法另辟蹊径
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拓扑学的早期研究主要使用代数方法，因此有“代数拓扑学”之称。以后，微分几何逐渐成为拓扑学的主要研究工具，于是又有“微分拓扑学”之名。
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微分几何研究“流形”（manifolds）或叫做“空间”（spaces），其实就是拓扑学中的几何图形。由于高斯、黎曼、嘉当和陈省身等人的开拓性工作，微分几何已发展成为纯粹数学的一个充满活力的主要分支；凭借其处理流形的丰富手段，因而能够在拓扑学研究中发挥强有力的作用。特别是一种叫做“几何分析”的方法，它通过解流形上的非线性偏微分方程来揭示流形的结构信息，后来成为打通庞加莱猜想证明之路的利器。
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偏微分方程属于数学的分析领域，将其放在流形上后，就形成了几何与分析交叉的一个新领域，所以称为“几何分析”。该领域兴起于20世纪70年代，著名华人数学家丘成桐一直是其中的领袖人物。
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丘成桐（Yau Shing-Tung，1949—）出生于广东省汕头市，不久移居香港。14岁时，身为大学哲学教授的父亲突然病逝，使全家生活陷入困境。全凭母亲支撑，将七个子女抚养长大。丘成桐小时读书并不用功，父亲过世令他开始发奋，1966年以优异成绩考入香港中文大学数学系，3年后来到美国加利福尼亚大学伯克利分校，在陈省身指导下学习微分几何，并于1971年提前获取博士学位。他先后在普林斯顿高等研究所任研究员，在加州大学圣地亚哥大学任教授，1987年起任哈佛大学教授，1993年，在加入美国国籍之后当选为美国科学院院士。
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丘成桐的代表性数学贡献就是于1976年证明了“卡拉比猜想”，这是由意大利裔美国几何学家卡拉比（Eugenio Calabi，1924—）在1954年提出的，关于紧复流形上的第一陈（省身）示性类与度量之间关系的一个断言；他的另一个重要贡献是在1978年与人合作证明了广义相对论中的正质量猜测。这些成就大都通过解流形上的偏微分方程取得。
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1983年，丘成桐成为第一位荣获菲尔兹奖章的华人数学家。尼伦伯格（Louis Nirenberg，1925—）在介绍其获奖工作时说道：
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“丘成桐在微分几何和偏微分方程领域中作出了极其深刻和极有影响的工作，他是一位兼具强大计算力和洞察力的分析几何学家（或叫做几何分析学家），他解决了那些多年内未曾有任何进展的难题。”
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4.哈密顿打下基础
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1982年，美国数学家哈密顿（Richard Hamilton，1943—）发表了题名《三维流形的里奇曲率》的论文，其中首先引进了“里奇流”（Ricci flow）的概念。丘成桐立即看出，“里奇流”在使流形的形状“变好”的同时，还会因流形的“塌陷”而产生“瓶颈”之类的奇点，从而可以把流形分解成几个较简单的流形的组合，如此分解下去，最后可能得到一些足够简单的流形，从而能够验证庞加莱猜想。他于是力劝哈密顿朝此方向前进，并鼓励自己的学生也积极投入其中。
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经过20多年的努力，哈密顿已澄清了绝大部分奇点的情况。在他的研究中，大量引用了丘成桐、李伟光、施皖雄、曹怀东、朱熹平等华人数学家的成果。现在，只对一类特殊的奇点——雪茄型奇点——不能把握，因为这类奇点可能会使流形的分解无限次进行下去，以至不能产生最简单的流形。
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哈密顿为证明庞加莱猜想做出了关键的贡献，但因超龄而未能获得菲尔兹奖章。不过，他于1996年荣获了美国数学会的维布伦几何学奖，并于1999年当选美国科学院院士。
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5.佩雷尔曼立首功却拒绝领奖
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从2002年11月到2003年7月这短短的半年多时间里，俄罗斯数学家佩雷尔曼（图9.2.2）连续在因特网上（http：//www.arxiv.org/）发表了三篇关于“里奇流”的研究论文，引起了国际数学界的震动，因为这些论文的结果如果是正确的话，那就意味着“瑟斯顿几何化猜想”当然也包括庞加莱猜想被完全证明。佩雷尔曼在他的论文里使用了改进的流形分解方法，并且证明此时不会出现哈密顿所担心的那个“雪茄型奇点”。于是，由“里奇流”引起的所有流形分解都将在有限时间内完成，并且已经知道，所得到的最简单流形只能是瑟斯顿所给出的8种基本流形中的一种。就这样，困扰了数学家整整一个世纪的拓扑学之谜被完全破解。
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▶ 图9.2.2 佩雷尔曼
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然而，佩雷尔曼的论文很简略，许多地方只是梗概地说明。他本人在发表了文章后，曾应邀来到美国的几所大学讲解他的理论。但回到俄罗斯后就马上销声匿迹，不肯露面。人们一时无法确定他的结果是否正确无误，于是数学家们开始设法补全他的证明。经过3年的努力，到了2006年，朱熹平和曹怀东合作的长达592页的论文，田刚和摩根的473页论文，以及克莱恩和洛特的192页论文先后发表。这几位一流数学家的详尽工作得出了相同的结论，即佩雷尔曼的结果是正确的。
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在2006年8月召开的国际数学家大会上，国际数学联盟宣布授予佩雷尔曼菲尔兹奖章。这是历史上首次把该奖章授予一位把获奖成果公布在因特网而不是发表在正式杂志上的数学家。更令人意外的是，特立独行的佩雷尔曼拒绝接受这象征数学家无上荣誉的金质奖章。
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